四边形 6年级笔记

引言

一种由四条边、四个顶点和四个角组成的图形。它是由连接四个不共线点形成的，四边形所有内角的和是360度。

“四边形”一词源自拉丁语“Quadra”，意为四，Latus，意为边。需要注意的是，四边形的四条边不一定相等。因此，四边形可以根据它们的边长和角度分为不同的类型。

描述四边形

四边形是一个平面图形，它有四条边、四个顶点（角）和四个顶点处的四个角。在下面的图中，四边形ABCD有四条边：AB、BC、CD和DA。顶点处的四个角是∠A、∠B、∠C和∠D。它还有两条对角线AC和BD，这是通过连接相对顶点得到的。

四边形的类型

四边形根据其角度和边长的测量进行分类。“Quad”是一个前缀，意思是四，这意味着每个四边形都有四条边，其角度之和为360度。四边形有各种形状和大小，包括梯形、正方形、平行四边形、菱形、矩形和风筝。

1. 梯形

有一对平行相对边的四边形称为梯形。在梯形ABCD中，边AB和CD是平行的。

2. 平行四边形

两对平行边的四边形称为平行四边形。相对的角相等，相对的边平行且长度相等。在平行四边形ABCD中，边AB和AD分别平行于边CD和BC。

此外，如果我们画对角线，它们会相互在其中点相交。在上图中，点E代表对角线的交点，其中AE等于EC，BE等于ED。

3. 矩形

它是一个四边形，有四个相等的角，并且相对的边相等且平行。

4. 菱形

它有四条相等的边。相对边互相平行，相对角相等。

5. 正方形

它是一种四边形，其中所有边和角都相等。每个角为90度，相对边平行。

6. 风筝

这种四边形有两条相邻的边长度相等。

关于四边形的一些重要事实

• 正方形也是矩形和菱形。但是，矩形和菱形不是正方形。
• 平行四边形可以是梯形，但梯形不能是平行四边形。
• 风筝不是平行四边形。

不同类型四边形的性质

1. 梯形

梯形只有一对平行边。 其非平行边称为腿。其对角线相互相交。

公式

• 梯形面积 = (½) (a + b) h
  = (½) (两平行边之和) × 高
• 周长 = 所有边之和。

2. 平行四边形

平行四边形的相对边长度相等且平行。 任意两个相邻角的和为180度，相对角相等。在平行四边形中，如果一个角是直角，则每个角都必须是直角。每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

• 面积 = 底 × 高
• 周长 = 所有边之和

3. 矩形

矩形的相对边平行且长度相等。它的每个内角为90度。其对角线长度相等，并且相互平分。

• 面积 = 长 × 宽
• 周长 = 2(长 + 宽)

4. 菱形

它有四条相等的边，相对边相互平行。此外，相对角相等。对角线互相垂直平分，并且平分内角。相邻角之和为180度。

• 面积 = (½) (d1 × d2)
  = (½) (对角线长度之积)
• 周长 = 4 × (边长)

5. 正方形

正方形有四条相等的边，相对边相互平行。每个内角为90度。对角线长度相等，并且相互垂直相交。

• 面积 = (边长)²
• 周长 = 4(边长)

6. 风筝

其相邻边长度相等，一对相对角相等。对角线长度不同，且相互垂直相交。

• 面积 = (½) (d1 × d2)
  = (½) (对角线长度之积)
• 周长 = 所有边之和

分类四边形的其他方法

四边形可按以下方式分类

• 凸四边形： 在这种类型中，两条对角线都完整地存在于图形内部。参见下图。
• 凹四边形： 在这种类型中，至少一条对角线部分或全部延伸到图形外部，如下图所示。
• 交叉四边形： 这些不是标准的四边形，其中相邻边相交。它们以某种方式重叠。这种四边形称为自相交或交叉四边形。

1) 凸四边形，2) 凹四边形，3) 交叉四边形

已解决的例子

示例1： 求一个周长为48厘米的正方形的面积。

解： 设正方形的边长为a。

正方形周长的公式是

周长 = 4a

已知周长为48厘米。

所以，4a = 48厘米

a = 48/4 = 12

因此，正方形的每条边长为12厘米。

现在，求正方形的面积

面积 = a² = (12)² = 144平方厘米

示例2： 一个菱形的面积是260平方厘米，其中一条对角线长20单位。求另一条对角线的长度。

解决方案

菱形面积 = A = 260平方厘米。

设d1为一条对角线的长度，即20厘米

使用的概念

菱形的面积可以用以下公式计算：

面积 = ½ × d1 × d2

(其中d1和d2是菱形对角线的长度)

计算

使用面积公式

260平方厘米 = ½ × 20 × d2

这简化为：

260 = 10 × d2

d2 = 26厘米

因此，另一条对角线的长度是26厘米。

示例3： 矩形的长度和宽度分别为20厘米和10厘米。其周长等于正方形的周长。求这个正方形的面积。

解决方案

矩形长度 = 20厘米，宽度 = 10厘米

矩形周长 = 2 × (L + B)

正方形周长 = 4 × 边长

正方形面积 = 边长 × 边长

解决方案

矩形周长 = 2 × (20 + 10) = 60厘米

因此，正方形的周长也为60厘米。

设正方形的边长为A

因此，

4A = 60

A = 15

所以，正方形的面积 = 15 × 15 = 225平方厘米

示例4： 如果菱形的面积是80平方单位，高是16单位，那么底是多少？

解决方案

面积 = 80平方单位（已知）

高 = 16单位（已知）

菱形面积 = 底 × 高

80 = 底 × 16

底 = 80/16 = 5单位是给定菱形的底。

示例5： 如果风筝的两条对角线测量值为8米和4米，它的面积是多少？

解决方案

对角线1 = 8米，对角线2 = 4米。

风筝面积 = ½ x d1 x d2

所以，面积 = (1/2)(8 × 4) = 16平方米。

示例6： 计算边长分别为6厘米、8厘米、10厘米和12厘米的四边形的周长。

解决方案

这个四边形有四条边：6厘米、8厘米、10厘米和12厘米。

周长是所有边长的总和。

因此，周长是

P = 6厘米 + 8厘米 + 10厘米 + 12厘米 = 36厘米。

示例7： 四边形的周长是60厘米。三条边的长度分别是10厘米、14厘米和18厘米。求第四条边的长度？

解： 设第四条边的长度为X。

已知周长为60厘米

三条边的长度分别为10厘米、14厘米和18厘米。

周长 = 四条边之和。

因此，我们有

60 = 10厘米 + 14厘米 + 18厘米 + x

这简化为：

60 = 42 + x

x = 60 - 42

x = 18厘米

因此，四边形的第四条边的长度是18厘米。