边界元素法 (BEM)

引言

边界元法 (BEM) 是一种数值计算方法，它通过求解表述为积分方程（边界积分）的线性偏微分方程来解决问题。与其他方法相比，BEM 对无限或半无限区域以及复杂几何形状的问题更有效。BEM 与 FEM 和 FDM 等基于域的方法的一个显著优势是，在 BEM 中，只需离散化问题的边界，而无需离散化整个域。

历史背景与发展

BEM 的背景植根于 20 世纪早期位势理论和边界积分方程的发展。在 1960 年代，随着 R. Kress 和 C. A. Brebbia 的关键研究，它获得了特殊的认可。在随后的几十年里，BEM 领域的数值算法以及计算资源得到了进一步发展，使得 BEM 现在可以作为工程和科学问题中的实用工具。

BEM 在 1970 年代和 1980 年代在弹性力学、流体力学和声学工程等领域受到青睐。然后，在 1980 年代的快速多极方法 (FMM) 中，BEM 的效率再次提高，以解决更广泛和复杂的问题。目前，BEM 已根据计算机硬件系统和数值分析方法的发展调整了其应用，以适用于工程和科学研究的不同领域。

与其他数值方法的比较

边界元素法 (BEM)

• 只需要离散化边界，这实质上会降低问题的维度。
• 适用于解在 -∞ 到 +∞ 范围或任何比它更大的范围内的线性问题。

有限元法 (FEM)

• 需要从一开始就将域离散化为小区域。
• 非常灵活，可以有效地处理各种难度级别的几何形状、材料和边界。
• 适用于涉及非均匀和各向异性介质以及场高度非均匀和各向异性的问题。
• 在结构、热流和流体流动等领域有大量的应用。

有限差分法 (FDM)

• 通过网格离散化域，并将导数替换为差分。
• 如果问题涉及易于离散化的几何形状，则易于实现且耗时较少。
• 在处理几何形状和载荷描述方面略显不灵活。
• 在 CFD 和传热问题中非常常用。

基本概念

边界离散化与域离散化

在数值方法中，离散化将连续体或质量分解为有限数量的元素或点，以增强对连续体的理解。

1. 域离散化
   • 在域离散化方法中，例如 FEM 或 FDM，问题的整个域被划分为元素或网格点。
   • 研究单个组件，并获得整个域的方程。
   • 该方法非常适合具有复杂边界条件的几何形状；但是，它可能非常耗费计算资源，尤其是在应用于大域时。
2. 边界离散化
   • 在 BEM 中，只有域表面积由元素近似，这与 FEM 不同，在 FEM 中，整个域都被近似。
   • 这会将问题的维度减少一维：一个 3D 问题变成边界表面上的 2D 问题，而一个 2D 问题变成边界曲线上的 1D 问题。
   • 这可以大大减少所需的元素数量、计算量和内存量。

积分方程及其在 BEM 中的地位

积分方程是未知函数在积分符号下的方程。在 BEM 中，积分方程将边界值映射到域内的值。

边界积分方程

• 这些方程是从问题的给定控制微分方程（例如拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等）使用格林定理和类似等价物获得的。
• 域内给定问题的解表示为边界上的积分，其中涉及边界值和基本解。
• 这会将问题简化为边界上的积分方程，从而改变域中给定的非线性 PDE。

在 BEM 中的作用

• 由于积分方程的存在，可以减少计算问题的维度。
• 它们自动包含边界条件，这增强了 BEM 在复杂或无限区域问题中的应用。
• 求解积分方程的结果表示边界值，可用于在任何域点找到问题的解。

基本解和格林函数

1. 基本解
   • 基本解是微分方程的解，描述了与特定点相关的物理问题，例如热传导或弹性。
   • 例如，当涉及到拉普拉斯方程时，三维上下文中的基本解是 1/4πr，其中 r 表示源点的距离。
2. 格林函数
   • 基本解是格林函数，也用于满足系统中的某些边界。
   • 它提供了一种有效的方法来组装边界值问题的解，并显示边界对结果的影响。
   • 格林函数适用于将给定的 PDE 转换为边界上的积分方程。

数学基础

BEM 是一种求解线性偏微分方程的数值计算技术。积分方程已用于表示这些方程。它对无限或半无限域的问题最有用，因为它通过关注域的边界来降低问题维度。

边界积分方程的推导

形成边界积分方程的过程从所考虑的物理问题的控制偏微分方程 (PDE) 开始。让我们以所有偏微分方程中最简单和最著名的拉普拉斯方程为例，它在静电学、流体力学、热传导和任何其他可能需要解决的领域中都很流行。

其中 φ(X) 是待确定的势函数，(X) 表示域中的一个点。

为了推导边界积分方程，我们使用格林第二恒等式，它将函数及其拉普拉斯算子在体积上的值与体积边界上的值联系起来。

这里，V 是域的体积，S 是边界表面，G 是拉普拉斯方程的格林函数。

这是拉普拉斯方程边界积分方程的基本公式。像格林恒等式方法一样，它根据值行为及其在边界上的法向导数表示点 X0 的势。

BEM 中的直接法和间接法

直接法

直接法意味着直接求解从控制 PDE 获得的边界积分方程。这种方法将边界细分为元素，并且仅通过分段函数估计边界上的未知值（势和通量）。然后这给出了一个线性方程组，通过求解该方程组来确定边界值。

直接法步骤

1. 将边界细分为几个小部分，以便在执行值分析时差异可能很明显。
2. 接下来，从插值函数近似函数的边界值。
3. 因此，将近似值代入边界积分方程。
4. 将获得的方程代入线性方程组并找到未知边界条件。

间接法

随后，可以计算这些源或偶极子的强度以满足给定的边界条件。这就是所谓的间接或分布法。这不可避免地导致形成关于源强度的积分方程；然后求解这些方程，得出边界值。

间接法步骤

1. 假设边界上存在源或偶极子分布。
2. 将势重新表述为源强度的积分。
3. 应用边界条件以获得源强度的积分方程。
4. 将源强度代入积分并找到势。

拉普拉斯方程及其边界积分公式

拉普拉斯方程及其边界积分公式

为了将其表述为边界积分方程，我们使用 2D 拉普拉斯方程的格林函数

对于 3D 问题，格林函数是

如前所述，使用格林第二恒等式，我们得到边界积分方程

这个方程连接了点 X0（位于给定区域内）的势 φ 的类型，以及势的值及其在给定位置边界上的第一个导数。

边界元法的数值实现

离散化技术

因此，在边界元法 (BEM) 中，主要步骤是将边界积分方程转换为离散方程，从而允许解决数值问题。这个过程被称为离散化。

1. 边界元素
   • 因此，问题域的边界被细分为所谓的边界元素。
   • 这些元素可以是任何形状，包括二维问题中的线段或三维问题中的表面片。
2. 配置点
   • 离散化积分域后，选择每个元素上的特定点，称为配置点。
   • 然后，在某些配置点处近似连续积分方程，结果是线性代数方程。

数值积分和求积方法

由于 BEM 计算涉及许多积分，因此数值积分对于计算边界元素上的积分至关重要。因此，由于精确积分通常不可行，积分技术现在是数值的。

1. 求积方法
   • 定位方法通过函数值与某个区间内的权重乘积之和来近似函数的积分。
   • 一些广泛使用的求积技术是高斯-勒让德求积、辛普森法则和梯形法则。
2. 奇异性处理
   • 通常情况下，BEM 中的边界积分表示为有理函数的积分，这些积分可能包含被积函数变为无穷大的奇异点。
   • 它们通常通过特殊技术解决，例如奇异点减法或坐标变换。
   • 还可能存在自适应积分规则，以提高奇异点附近的精度。

BEM 产生的线性系统求解

根据样本选择和积分方法的级别，在离散化之后，问题转换为求解线性方程组。

1. 线性系统的公式
   • 离散化积分方程给出形式为 Ax = b 的矩阵方程，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量（例如边界值），b 是来自边界条件的已知向量。
   • 系数矩阵 A 通常是满秩且不对称的，因为边界积分是在全局域上执行的。
2. 求解线性系统
   • 对于较小的系统，首先尝试使用高斯消元法或 LU 分解法直接求解。
   • 但是，对于大型系统，最好使用共轭梯度法、GMRES（广义最小残差）或 BiCGSTAB（双共轭梯度稳定化）。
   • 一些预处理方法可以提高迭代求解器的收敛速度。

边界元法 (BEM) 的应用

结构力学

结构力学是 BEM 广泛应用的主要领域之一。该方法最适用于结构应力、应变以及变形。

1. 应力分析
   • BEM 用于计算材料的强化应力，特别是在形状复杂的结构中。
   • 问题的复杂性可以在维度上显著降低；例如，三维问题变成二维的边界值问题。
2. 裂纹扩展
   • BEM 完美适用于断裂力学中的裂纹萌生和扩展。
   • 例如，它可以模拟应力强度因子并确定裂纹可能遵循的路径。
   • 该方法仅涉及离散化裂纹表面和边界；随着裂纹的扩展，它不涉及重新划分域网格。
3. 振动分析
   • BEM 用于分析结构对不同载荷的响应。
   • 它有助于找到固有频率和模态形状，这对于建造结构以避免可能导致失效的共振频率至关重要。

热传递

1. 稳态热传导
   • 当分析目标是确定物体中的温度分布，并且该方法应用于稳态热传导问题时，建议使用 BEM。
   • 它通过考虑更多的边界条件来缩短公式，这意味着将涉及更少的计算。
2. 瞬态热传导
   • 然而，如下所示，BEM 也可以应用于瞬态传导问题，尽管过程稍微复杂一些。
   • 使用指定的方法，解决边界条件随时间变化的问题很容易。

流体动力学

1. 势流
   • 这些问题与势流有关，当流体流动可能发生，或者可以通过可能的函数描述流动时，可以求解 BEM。
   • 由于它求解边界积分方程，因此在模拟机翼和船体等物体周围的流动时特别有效。
2. 不可压缩流
   • BEM 可以应用于不可压缩流体流动问题；通过边界积分求解连续性方程和边界条件。
   • 它使分析更易于访问，因为它只处理域的边界，而不是整个流体。

电磁场

1. 静电学
   • 在本文的主题背景下，BEM 用于解决静电问题，其中需要找到电势和电场。
   • 在解决具有复杂形状和受压区域边界条件的情况时，它也表现良好。
2. 静磁学
   • 与静电学情况一样，BEM 用于静磁问题，以找到材料和设备周围的磁场。
   • 它在设计磁路和部件方面有其应用。

优点和局限性

使用 BEM 的好处

1. 维度降低：与某些其他方法（例如有限元法 (FEM)）不同，在 BEM 中，只需对边界进行离散化。
2. 处理无限和半无限域：BEM 对具有大或半无限域的问题表现出色，因为不需要人工截断来推进格林函数。同样值得注意的是，由于该方法的性质，对于涉及无穷远处行为的问题，无需施加人工边界条件。
3. 准确性和精度：由于该方法侧重于边界，BEM 在计算边界值时具有高精度。这在裂纹附近或不同材料界面之间的应力分布是主要关注点时特别有用。
4. 多功能性和灵活性：BEM 分析了项目和物理学中的广泛线性问题，包括势流、声学、弹性和热传导。它还对现实生活中遇到的边界条件和问题形状的变化具有多功能性。

挑战和缺点

1. 公式复杂性：边界积分方程的推导，特别是对于复杂几何形状和非线性问题，可能很复杂，并且涉及大量的数学运算。这需要对积分微积分和边界值问题的基本原理有深刻的理解。
2. 计算强度：BEM 公式总是产生许多系统方程，因为每个边界元素都与其他元素互连。这导致高内存消耗和计算时间，因此在大型问题解决方案中效率低下。
3. 有限的非线性和时间相关应用：使用 BEM 描述非线性问题是一项更困难的任务，并且从基于 FEM 的技术的角度来看，进展不大。非线性问题出现在必须迭代求解并借助组合方法的情况下。
4. 软件和工具限制：BEM 的软件包选择也有限；与 FEM 相比，商业和开源软件包都更少。这会降低从业者和研究人员的流畅性和易用性，从而降低可访问性。

结论

边界元法 (BEM) 提供了尺寸更小、边界精度高以及处理无限区域的能力等解决方案优势，因此适用于许多工程和物理问题。然而，它在公式上很复杂，由于计算密集型矩阵而需要大量的计算工作，并且在处理非线性和瞬态系统方面存在限制。因此，尽管可用的工具较少，并且学习曲线相当陡峭，但 BEM 具有 FEM 无法实现的好处，这使得 BEM 在与其他数值方法结合使用时成为一种相关方法，从而确保了其在计算力学及相关领域的未来。