拉普拉斯变换

引言

拉普拉斯变换本质上是一种运算技术，它通过将复杂的微分方程转化为简单的代数方程，为工程师和数学家提供了极大的便利。作为最重要的一种积分变换，它接受一个时间函数（通常表示为 f(t)）并将其转换为一个复变量函数（表示为 F(s)）。

拉普拉斯变换的通用形式是

在这里，s 是一个复数；它们包括 s = σ + j ω，其中 σ 是实数，ω 是虚数。转换后的函数 F(s) 是一个稳态函数，等同于实际函数 f(t)，这意味着分析离散域和频率域可以极大地简化处理线性微分方程的过程。

在工程和数学中的重要性

因此，拉普拉斯变换，作为 数学 的瑰宝，起源于 18 世纪最后一个季度法国传奇数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯之手，在数学史的年轮中有许多历史渊源。拉普拉斯变换最初是为了概率论而发明的，如今已成为工程和科学许多分支领域不可或缺的工具，并延续着数学发现的脉络。

拉普拉斯变换的应用

• 电气工程： 在电气工程中，拉普拉斯变换应用于电路分析，尤其是在 RLC 电路中，即电阻-电感-电容电路。在这种情况下，通过拉普拉斯变换描述电路的微分方程，工程师可以轻松地确定电路中的电压和电流，尤其是在初始值条件下。
• 控制系统： 拉普拉斯变换应用于控制系统工程，以获取有关动态系统行为的信息。它通过分析传递函数（定义为系统微分方程的拉普拉斯变换）来确定系统的稳定性、可控性和可观测性。
• 微分方程： 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的有效方法。它将微分方程转换为代数方程，从而简化了计算。得到代数解后，再使用反拉普拉斯变换将解转换回时域。

拉普拉斯变换的数学基础

拉普拉斯变换被定义为一个数学运算，通常用于求解微分方程，并在工程和 物理学 中有大量应用。该变换将具有 f(t) 函数表示的时域函数映射到一个具有 F(s) 函数表示的复频域函数。

其中

• 它是时间变量（自然且非负），
• s 是一个复数，其中 s = σ + jω，σ 和 ω 是实数。
• e^-st 是一个指数衰减因子，用于保证积分的收敛。

收敛域 (ROC) 和存在条件

拉普拉斯变换的几个性质可以从收敛域 (ROC) 的知识中推导出来。ROC 是一个闭合集合，包含使拉普拉斯变换积分等于有限值的参数 's' 的所有值。

• 存在条件： 因此，为了使拉普拉斯变换存在，积分需要收敛。这通常要求函数 f(t) 具有指数阶，即存在常数 M、a 和 T 使得
  对于所有 t ≥ T，有 |f(t)| ≤ M e^at
  参数 'a' 与 ROC 相关，因为变换仅在 'σ' 大于 'a' 的值时收敛。
• ROC： 根据 f(t) 的性质，ROC 可以表示为：对于因果系统（当 f(t)=0 for t<0 时），ROC 通常是复数 s 平面的右半部分，其中实部 Re(s) 大于 'a'。对于反因果系统，ROC 占据虚轴的左侧。如果分析表明其函数包含因果和反因果部分，则 ROC 可能是复平面中的一条简单的垂直线。

拉普拉斯变换表示法

标准表示法和符号

拉普拉斯变换的标准表示法是

这里，f(t) 是时域函数，F(s) 是频域函数。

拉普拉斯变换中使用的关键符号包括

• s： 复频率变量，s = σ + jω，复频率变量 s 是一个复数，由两部分组成：实部，表示为 σ，虚部，表示为 ω。
• L： 拉普拉斯变换算子，取决于复变量，并遵循数学中制定的几条规则。
• F(s)： f(t) 的拉普拉斯变换定义为从 0 到无穷大积分 e^(-st) f(t) dt。
• f(t)： 原始时域函数，只能通过比较频域函数来检测，然后通过进行傅里叶反变换将其带回时域。

与其他变换的比较

• 傅里叶变换： 拉普拉斯变换实际上是傅里叶变换的推广，当 s = jω（即 σ = 0）时，实际上就得到了傅里叶变换。通常不会为傅里叶变换附加 ROC，因为傅里叶变换通常应用于存在于所有时间或周期性函数。另一方面，拉普拉斯变换适用于更广泛的函数，实际上适用于任何不一定是周期性的或不一定存在于所有时间 t 的函数。
• Z 变换： Z 变换是离散的，并用于数字信号处理。它是拉普拉斯变换的离散时间对应体：Z 变换定义为

当 z 是复变量时，Z 变换的 ROC 与拉普拉斯变换类似，它是使求和收敛的 z 的值范围。

拉普拉斯、傅里叶和 Z 变换彼此相关，并且每个变换都可用于分析不同类型的系统，具体取决于它们是连续的还是离散的，周期性的还是非周期性的。

拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换是研究线性系统，特别是控制理论和信号处理中的线性时不变系统的不可或缺的工具。拉普拉斯变换的性质在求解微分方程时至关重要，因为拉普拉斯变换使过程更容易。

1. 线性性质

拉普拉斯变换的线性性质是最简单但同时也是最重要的性质之一。这被称为“拉普拉斯变换的线性”或更简洁地说，“拉普拉斯变换的性质 1”。一般来说，如果两个函数 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换分别为 F(s) 和 G(s)，且 a 和 b 是常数，那么

2. 时移性质

这应该解释时间延迟或移动如何影响信号的拉普拉斯变换。因此，时移性质是用于解释拉普拉斯变换这一方面的值得称赞的工具。当一个函数 f(t) 在时间上延迟特定量 t0 时，其拉普拉斯变换将与指数因子 e^at0 成比例缩放。如公式所示，对于延迟 t0

3. 频移性质

频移性质处理频域移位对拉普拉斯变换的影响。如果在时域中将函数 f(t) 乘以指数项 eat，则拉普拉斯变换将在频域中移位

4. 时域微分和积分。

据称，微分和积分性质允许使用拉普拉斯变换来表示时域函数及其导数和积分，这是求解微分方程的实用方法。

• 微分： 这里微分定理派上用场，它指出函数 f(t) 的一阶导数的拉普拉斯变换是
  
  对于二阶导数
  
• 积分： 这是函数 f(t) 的积分的拉普拉斯变换
  

5. 初始值和最终值定理

根据初始值和最终值定理，可以从拉普拉斯变换中获得函数在时间间隔开始和结束时的行为图，而无需进行反演过程。

• 初始值定理： f(t) 随着 t 增加而取到的第一个值是一个重要值，可以计算如下
  
• 最终值定理： 对于给定的函数 f(t)，当 t 趋于无穷大时的值等于最终值
  

反拉普拉斯变换

反拉普拉斯变换是一种数学过程，用于在给定拉普拉斯变换的情况下找到时域函数。这个概念在许多领域都有应用，包括工程、物理学和 控制系统，其中系统通常通过应用拉普拉斯变换在 s 域中进行分析。

数学表示

如果 F(s) 是函数 f(t) 的拉普拉斯变换，则反拉普拉斯变换表示为

F(t) = L^-1{F(s)}

这里，L^-1 是反拉普拉斯变换算子。目标是确定 f(t)，当对其取拉普拉斯变换时，结果是 F(s)。

反拉普拉斯变换的方法

1. 部分分式分解

如果我们有 F(s) 中的有理函数，则此方法非常方便。该方法是将其 F(s) 表示为更简单分数的总和，其中每个分数都可以找到其反拉普拉斯变换。

过程

• 将 F(s) 表示为两个多项式的比值。
• 将分母表示为线性和二次因子的乘积。
• 将给定函数表示为其部分分数的总和。
• 可以通过查阅标准拉普拉斯表来对上述方程的每一项应用反拉普拉斯变换。

2. 复数反演公式

复数反演公式通常比简单公式更强大，尤其是在 F(s) 不易因式分解时。该公式是使用 Bromwich 积分推导出来的，并表示为

积分沿复平面中的一条垂直线进行，并且 'c' 是一个大于 |F(s)| 所有奇点的 |singularity of F(s)| 的整数。

3. 使用拉普拉斯变换表

这是所有六种求反拉普拉斯变换方法中最简单的一种。对于拉普拉斯变换及其对应的时域函数列表，都有标准的表格可用。

• 确定 F(s) 的形式。F(s) 是哪种形式？你可以在给定的表格中找到它。
• 直接写出与之对应的时域函数 f(t)。

结论

拉普拉斯变换提供了一种高效的数学工具来求解微分方程，并在工程和物理学中分析系统。它们将时域函数转换为频域，从而可以轻松处理线性系统，并使用直接的方法获得解。我喜欢有标准表格以及大多数常用函数的组合变换，这使得 DS 能够应用于各种理论和实际问题。拉普拉斯变换在动力学中占据核心地位，并在控制理论和信号处理以及众多其他技术学科中取得了实质性进展。