奇异值分解 (SVD)

引言

奇异值分解 (SVD) 是线性代数中的一项基本数学技术，它将一个矩阵分解为三个更简单的矩阵，从而揭示了原始矩阵的内在几何和代数结构。给定一个 m×n 维的矩阵 AAA，SVD 将 AAA 表示为三个矩阵的乘积：A=UΣVTA = U \Sigma V^TA=UΣVT。其中，UUU 是一个 m×mm \times mm×m 的正交矩阵，其列向量是 AAA 的左奇异向量；Σ\SigmaΣ 是一个 m×nm \times nm×n 的对角矩阵，包含 AAA 的奇异值；而 VTV^TVT 是一个 n×nn \times nn×n 的正交矩阵的转置，其列向量是 AAA 的右奇异向量。这种分解为理解矩阵的性质提供了宝贵的见解，例如它的秩、值域和零空间。

SVD 在数据科学、信号处理和计算机视觉等各个领域都有广泛的应用。在数据科学中，它常用于降维、去噪以及提高 机器学习算法 的性能。例如，在推荐系统中，SVD 可以帮助提取用户-物品交互矩阵中最显著的特征，从而提高推荐的准确性。在图像处理中，SVD 用于图像压缩和增强等任务。通过仅保留最大的奇异值及其对应的奇异向量，可以在最小的质量损失下获得图像的压缩版本。这个强大的工具通过将复杂的矩阵分解为更简单的组成部分，使得数据处理和分析更加高效。

语法

在 MATLAB 中执行 奇异值分解 (SVD) 的语法非常简单。以下是使用 svd 函数的几种不同方式：

基本语法

仅计算奇异值

如果您只需要 A 的奇异值

S 将是一个列向量，其中包含 A 的奇异值。

经济型分解

对于大型矩阵，经济型分解可以节省计算资源

U 和 V 的尺寸将减小，以匹配 A 的秩。

在 Matlab 中，如何执行 SVD 分解？

在 MATLAB 中，使用内置的 svd 函数执行奇异值分解 (SVD) 非常简单。以下是执行此操作的分步指南：

• 准备您的矩阵： 确保您拥有要分解的矩阵。我们将其命名为 A。
• 使用 svd 函数： 此函数会将矩阵 A 分解为三个矩阵：U、S 和 V。

以下是 MATLAB 中的一个示例：

示例 1

输出

在此示例中

• A 是您要分解的矩阵。
• [U, S, V] = svd(A) 执行 SVD，返回矩阵 U、S 和 V。

理解输出

S 是一个对角矩阵，包含 A 的值。此外，U 是一个正交矩阵，其列向量是 A 的左向量；V 是一个正交矩阵，其列向量是 A 的右向量。

附加选项

如果您只需要 A 的奇异值，而不需要 U 和 V 矩阵，可以使用：

对于经济型分解，当 A 是一个大型矩阵时，您可以使用：

这会减小 U 和 V 矩阵的尺寸，以提高计算效率，同时仍然提供重要的奇异值。

示例 2

输出