鲁棒控制

引言

稳定控制是控制论的一个分支，旨在构建一个控制系统，即使在被控系统中存在差异时也能保证可接受的行为。与基于对系统动力学行为精确了解的传统控制系统不同，鲁棒控制综合了一种控制策略，以应对不确定且容易受到未知干扰的环境，从而使系统在最坏情况下也能稳定且令人满意地运行。这使得鲁棒控制尤其适用于参数难以设定或可能随时间变化的实际系统。

设计控制系统时的相关性

在现实生活中，很少能有一个理想化的物理系统模型，正如这里所假设的。例如，系统某些参数的变化、传感器性能的偏差、干扰的存在和其他非理想效应，以及未考虑到的动力学，都可能显著影响系统响应。在这种情况下，鲁棒控制能够识别各种不确定性，并对于确保设计的控制系统能够应对它们并继续提供稳定性和可靠性至关重要。

在不确定环境中进行决策

所有物理系统都固有地包含一定程度的不确定性，无论是由于模型错误规范、模型参数变化，还是由于天气条件等外部因素。在传统的控制方法中，这些不确定性可能导致系统性能下降甚至不稳定。然而，鲁棒控制在控制器设计过程中就考虑了这些差异，从而确保系统性能在这些变化下得以维持。这就是为什么在航天器控制或生命支持医疗设备等关键应用中，鲁棒控制是首选，因为在这些应用中，特定的变化可能产生灾难性的后果。

对干扰和噪声的容忍度

除了模型中描述的不确定因素外，现实世界的系统还受到外部干扰和测量不准确性的影响。例如，飞机上的阵风或一般电气应用中的功率强度变化可能会产生噪声。另一种噪声是测量传感器中的噪声，例如GPS、温度等，这些噪声会引入系统误差。鲁棒控制旨在减小这些干扰和噪声对系统性能的影响，同时在可能非常具有挑战性的条件下也能提供一致的输出。

鲁棒控制理论基础

系统中的不确定性表示

现实世界的控制系统也可能包含被控对象的不确定性，例如，由于对被控对象或环境缺乏精确信息。设计合适的控制器时，表示这些不确定性至关重要，因为控制器必须能够在给定条件下应对干扰并提供最佳性能。

参数不确定性和非参数不确定性

• 参数不确定性源于对系统参数（如质量、电阻或阻尼）的部分或不精确的了解，这些参数在特定的已知范围内变化。例如，汽车的精确重量可能随负载变化而变化，或者电路中的精确电阻量可能随温度变化而改变。
• 非参数不确定性是更复杂的扰动，或者说是结构性变化，很难直接将其与参数波动联系起来。这些不确定性可能源于系统建模中的错误、未建模的动力学或系统外部的干扰。

范数边界不确定性模型

• 在鲁棒控制中，不确定性使用范数边界模型进行建模。H∞范数是量化这些不确定性的便捷方法。它量化了系统内干扰可能导致的最大增长，并在不确定条件下设计保证性能稳定性的控制器中起着至关重要的作用。
• 飞机控制系统中出现的离散干扰，例如阵风或压力变化，被近似为噪声。为了设计控制器，本文采用了H∞范数，它保证了针对这些干扰的鲁棒稳定性和性能。

性能规范

鲁棒稳定性

• 使系统的稳定性对任何不确定性都更具鲁棒性。一个系统的强稳定性定义了系统在任何参数的**不确定性范围**内如何偏离，都能将其行为约束在指定邻域内的能力。
• 示例：在卫星姿态控制系统中，鲁棒稳定性将确保卫星能够保持正确的方向，而不管由于燃料消耗等因素随时间变化的惯量矩变化而产生的扰动。

鲁棒性能

• 除了稳定性之外，对于给定的控制系统，在不确定条件下运行时还必须提供可接受的性能水平。性能控制是指定期望的输出或响应特性——速度、精度或能量，即使存在干扰和建模误差。
• 示例：自动驾驶汽车的鲁棒稳定性依赖于在颠簸路面上行驶时的稳定性，而鲁棒性能则意味着自动驾驶汽车必须能够跟踪其路径并在地形表面波动和传感器噪声的情况下平稳行驶。

控制系统设计中的权衡

• 在开发复杂系统时，通常会出现为了实现高性能而必须承担不稳定性风险，反之亦然的情况。极高的鲁棒性可能导致非常被动的控制器，这可能导致系统动力学受阻或优化效率下降。另一方面，最大化效率会导致系统效率极高，它们会抓住一切机会挥霍资源来消除不确定性。
• 示例：在开发高效飞行控制程序的这个过程中，为了使系统能够有效地响应阵风，可能会在高度控制方面牺牲一定的精度。因此，定制的程度对于找到正确的平衡或正确的设计至关重要。

经典控制与鲁棒控制

• 经典控制认为系统模型是完全精确的，而干扰则要么很小，要么已经建模。这些假设被用于设计控制器，从而在实际应用中获得有益的性能。
• 鲁棒控制采取更保守的观点，直接着手于不确定性设计。它确保系统始终运行，即使特定系统的机制与模型略有不同。

鲁棒控制设计技术

1. H∞控制

H∞控制应用于实现设计控制器的目标，该控制器在存在模型不准确性和干扰的情况下，使实际系统性能保持稳定。H∞范数，或诱导范数，表示为 |G(s)|∞，量化了由输入干扰引起输出变化的**最大可能放大**。它旨在针对函数的**最坏情况最大值**，以保证系统在噪声下的稳定性和效率。当模型未定义或略有变化时，鲁棒控制技术非常有用。

2. µ-综合

µ-综合，或“mu-synthesis”，是一种强大的鲁棒控制实现策略，它针对结构化不确定性。与处理一般不确定性的H∞控制不同，µ-综合针对的是确定性的不确定性类型，其中不确定性不是均匀分布的，而是集中在系统的某些部分。它使用结构化奇异值，通常用符号µ表示，来量化系统针对这些不确定性的鲁棒程度。

结构化不确定性和D-K迭代

µ-综合中的关键过程是D-K迭代，这是一种交替执行两个步骤的方法

• D-Scaling（D-缩放）：寻找一个交叉矩阵 D(s)，它缩放不确定性并优化结构化奇异值 µ。
• K-Synthesis（K-综合）：为缩放后的系统开发一个控制器 K(s)，该控制器在应用于实际被控对象时能保证良好的性能。

迭代过程重复进行，直到最小化 ssv 值，从而保证系统在响应某些不确定性方面优于 H∞ 控制。

3. 滑模控制 (SMC)

滑模面和控制律

滑模控制 (SMC) 是一种最优控制技术或方法，它迫使系统状态沿着状态空间图上的特定表面（称为滑模面）移动。控制律必须将系统推向该表面，并在该表面上保持稳定，无论模型不准确或外部干扰如何。控制是非连续的，其中系统的控制响应于系统中的其他控制动作而改变。

滑模面通常定义为

s(x,t) = 0

其中 s(x, t) 是系统状态 x 的函数。一旦系统达到该表面，它将保持在该表面上，并且该表面上的降阶动力学控制着系统的运动。

对模型风险或外部干扰的实际抵抗力

SMC 的巨大优势在于对系统不确定性和干扰的**稳健性**，因为无论系统参数如何变化，系统都被迫在表面上滑动。这使得它非常适合模型未知或包含某些不确定性的应用，或者干扰频繁且随机出现的应用。

鲁棒控制的应用

1. 航空航天系统

姿态和轨道控制支持需要抵抗特定的外部扭矩，保持正确的方向，并以严格定义的特性跟踪特定轨迹，这些特性可能由于外部因素（包括重力、空气阻力或其他未建模效应）的影响而与计划的不同。这些控制器提供了系统对质量特性不确定性和执行器性能退化的鲁棒性，这使得它们对于地面干预很少的长期探索任务至关重要。

2. 机器人与自动化

工业机器人机械手通常需要在无法预测力的条件下工作，例如与新表面接触或负载变化。鲁棒控制确保这些机械手在操作过程中保持精确的运动，尤其是在处理具有不确定或变化特性的物体时。能够减轻执行器动力学和组合负载效应中基本世界不确定性的不利影响，使得鲁棒控制在精度任务（如装配线应用和复杂医疗手术）中，以及更重要的是，在潜在爆炸环境中进行精确操作时，能够不受自然世界干扰。

3. 动力系统

现代电力系统存在各种不确定性；它们包括负荷需求不确定性、可再生能源（如太阳能和风能）的发电能力、电力系统中组件的故障等。需要对这些系统进行良好控制，因为它们是维持电网稳定性的核心。这样可以确保电力供应在发生干扰或系统特定组件发生故障时保持稳定。电力生产和负荷需求中的不确定性问题也可以通过追溯负荷来源来解决，这只能通过实施严格的控制策略来实现。

4. 汽车系统

• ABS：这是一个控制制动压力的系统，从而在加速过程中消除车轮抱死的情况。有效的控制意味着 ABS 在各种路况（如湿滑、结冰、颠簸等）下都能以最佳状态工作，并在不稳定和快速变化的情况下提供安全且变化最小的制动。
• 自适应巡航控制：AVA 控制系统根据与前车的距离应用制动并保持安全距离，控制车辆的速度。稳定控制考虑不确定性，例如传感器误差或交通密度变化，从而为 ACC 系统提供舒适和安全的导航。

结论

因此，我们称之为鲁棒控制的概念很好地概括了在条件不确定、易受干扰或随时间变化的情况下，能够正确运行的系统。通过解决模型不完善和其他干扰问题，它在从航空航天和机器人到电力和汽车行业的众多学科中提供了基本的鲁棒性和高性能。高级控制策略：值得确定的是，存在几种强大的稳定性和性能控制方法，例如 H∞ 控制、µ-综合和滑模控制。随着技术集成系统越来越容易受到不可预测环境中潜在系统性故障的影响，增加控制作为设计和系统开发的功能将变得不可或缺——而控制有效地抵御了这些故障。