马尔可夫链

引言

马尔可夫链是一种数学模型，它用一定的概率表示系统在不同状态之间转换。马尔可夫链网络改变到下一阶段的可能性仅取决于其当前状况，而与导致这种情况的事件无关。这一属性被称为马尔可夫特性或“无记忆”特性。根据时间被视为一个连续过程还是被分解为离散的阶段，马尔可夫过程链可以被认为是离散的或连续的。它们已被广泛用于模拟在各种学科中连续演变的不可预测现象，例如排队论、经济继承领域以及金融服务。

在 MATLAB 中，可以使用 内置函数 和自定义脚本来实现和分析马尔可夫链。MATLAB 提供了用于模拟马尔可夫模型链随时间推移的移动以及生成定义从某个状态转换到另一个状态的概率的转换矩阵结构的资源。此外，还可以计算稳态分布，即在一段时间内处于任何给定状态的概率保持不变。MATLAB 的功能允许可视化转换，有助于理解被建模系统的长期行为。这使得 MATLAB 成为在各种实际场景中研究和应用马尔可夫链的强大工具。

为什么我们使用马尔可夫链？

马尔可夫链用于 MATLAB 中，用于建模和分析随时间在状态之间经历随机转换的系统。在 MATLAB 中使用马尔可夫链的主要原因是，由于其无记忆性，它们能够通过仅关注当前状态来预测未来行为，从而简化复杂的随机过程。这使得它们非常适合广泛的应用，例如预测金融市场的趋势、模拟 生物学 中的人口动态、优化运筹学中的决策过程以及分析通信网络。

在 MATLAB 中，使用马尔可夫链尤其有利，因为它具有强大的计算和可视化功能。MATLAB 允许用户轻松构建和操作转换矩阵，模拟状态转换，并分析稳态分布等长期行为。这使用户和工程师能够深入了解所研究系统的概率动态，进行预测并优化流程。在 MATLAB 中可视化这些转换和分布的能力进一步增强了对结果的理解和沟通，使其成为处理各个领域马尔可夫链的首选工具。

示例

下面是一个在 MATLAB 中创建和分析马尔可夫链的简单示例，并附带对每个步骤的解释

使用马尔可夫链进行天气预测

假设我们正在模拟天气，天气可以是“晴朗”或“下雨”。此外，只有一种气候预报，它依赖于今天生效的天气：如果今天天气晴朗，那么明天有 70% 的概率会是晴朗的，30% 的概率会是下雨的；如果今天下雨，那么明天早上有 40% 的概率会是晴朗的，60% 的概率会是下雨的。

% 定义转换矩阵

输出

说明

• 转换矩阵 (P)：第一行表示从“晴朗”状态的转换，第二行表示从“下雨”状态的转换。例如，P(1,1) (0.7) 是如果今天晴朗，明天仍然晴朗的概率。
• 初始状态 (initial_state)：此向量定义了起始条件。这里，[1; 0] 表示初始天气是晴朗的（100% 晴朗，0% 下雨）。
• 模拟循环：循环运行我们想要模拟的天数 (n_days)。
• 显示和绘制结果：每一天的最终概率都存储在 states 中，这些概率被显示和绘制出来，以可视化天气概率随时间的变化。

输出

输出将显示每天晴朗或下雨的概率。图表将提供可视化表示，您可以看到几天后概率如何稳定下来，这表明根据马尔可夫链模型，天气系统的长期行为。