特征值和特征向量

方阵 A 的特征值和特征向量是一个标量 λ 和一个满足以下条件的非零向量 v：

            Av = λv

在这个等式中，**A** 是一个 n×n 矩阵，**v** 是一个非零的 n×1 向量，λ 是标量（可以是实数或复数）。任何使该方程有解的 λ 值都称为矩阵 **A** 的特征值。 它也被称为**特征值**。 对应于这个方程的向量 **v** 称为特征向量**。** 特征值问题可以写成：

**A**·**v**-λ·**v**=0
**A·v**-λ·**I**·**v**=0
(**A-λ·I**)·**v**=0

如果 **v** 是非零的，则只有在以下情况下，该方程才会有解：

|**A**-λ·**I**|=0

该方程称为 **A** 的特征方程，是 λ 的 n 阶多项式，具有 n 个根。 这些根称为 **A** 的特征值。 我们将只处理 n 个不同根的情况；通过它可以重复。 对于每个特征值，都将有特征向量，这些特征向量使特征值方程成立。

示例：查找 2x2 矩阵的特征值和特征向量

剩下的就是找到两个特征向量。 让我们首先找到与特征值 λ₁=-1 相关的特征向量 v₁。

在这种情况下，我们发现第一个特征向量是任何 2 分量列向量，其中两个项目具有相等的大小和相反的符号。

其中 k₁ 是一个任意常数。 如果我们不必使用 +1 和 -1，我们就可以使用任何两个大小相等且符号相反的量。

对第二个特征值执行相同的过程

同样，为特征向量选择 +1 和 -2 是任意的； 只有它们的比率是必不可少的。 这在下面的 MATLAB 代码中得到了证明。

注意：MATLAB 为特征向量选择了不同的方程，而不是我们选择的方程。 v_1,1 与 v_1,2 的比率以及 v_2,1 与 v_2,2 的比率与我们的解类似； 系统的选定特征向量不是唯一的，但其分量的比率是唯一的。 MATLAB 选择的值使得每个特征向量的分量平方和等于 1。