MATLAB 中的 polyval()

引言

MATLAB 提供了强大的数值计算能力，广泛应用于数据可视化和算法设计。该软件能够高效地处理多项式运算，这在数学和科学研究中非常常用。MATLAB 为用户提供了多种创建、修改和检查多项式数学运算结果的方法。polyval() 函数是用于在目标点进行多项式求值的核心函数，对于处理数学模型和实际数据至关重要。

多项式求值的重要性

多项式表达式在科学和工程领域有着广泛的应用，用于模拟各种数学描述的场景。要实现这些活动，我们需要在不同的点上精确地估计多项式的值。

• 插值：该函数通过所有输入点构建一条线。
• 外插：我们的方法可以确定超出已知观测数据点的未来结果。
• 信号处理：通过多项式方法处理信号更加容易，因为系统可以分析和生成信号。

高效地进行多项式求值的能力，对于包括大型数据集或复杂多项式在内的数字数学解决方案的速度和精度有着重要影响。

polyval() 函数及其在 MATLAB 中的作用

MATLAB 提供了 polyval() 函数，用于计算给定自变量值下多项式的结果。polyval() 的使用使用户能够轻松地将值代入多项式并获得计算结果。通过将多项式表示为系数向量，polyval() 函数能够计算在指定输入点上的多项式值。

例如，考虑多项式 f(x)=3x² + 2x + 1。在 MATLAB 中，该多项式表示为向量 p = [3, 2, 1]。使用 polyval()，在 x = 0, 1, 2 处评估 f(x) 成为一项单行操作。

polyval() 函数会生成与 x 中所有值对应的 f(x) 结果值。其基本设计和广泛的实用性使得 polyval() 成为多项式工作中不可或缺的一部分。

polyval() 函数通过易于使用的设计以及高速的计算能力，帮助用户实现其分析目标，让他们能够处理数据。

MATLAB 中 polyval() 的语法和用法

计算机用户依赖 MATLAB 的 polyval() 工具来查找多项式在特定点上的结果。该函数使多项式计算更加容易，工程师和数据分析师在不同行业中使用它来构建他们的模型。

通用语法

polyval() 函数的通用语法是：

其中

• p 代表多项式系数。
• 变量 x 包含需要进行多项式求值的所有点。
• 输入点 x 后，多项式的值将直接放入 y 数组中。

输入参数

1. p (多项式系数)

• 该函数按变量幂的降序存储多项式系数。
  • 对于多项式 anxⁿ + a<0xE2><0x82><0x99>₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀，向量 p 表示为：

• 示例：多项式 3x² + 2x + 1 表示为 p = [3, 2, 1]。

2. x (求值点)

• 单个点或一组点告知函数需要在哪里测试多项式值。
• 我们可以输入实数或复数多项式，以根据我们的要求获得其计算值。

输出

1. y (结果值)

• 该函数通过与输入大小相匹配的输出，返回 x 中每个点上的多项式值。
• y 中的值完全取决于 x 中相应位置的多项式计算结果。

示例：多项式求值

示例 1：标量求值。计算多项式 2x³ - x² + 3 在 x = 2 处的值。

输出

15

示例 2：向量求值。计算相同多项式在多个点 x = [1, 2, 3] 处的值。

输出

[4, 15, 54]

示例 3：复数求值。计算 x = [i, -i]（复数）处的 x² + 1 的值。

输出

[0, 0]

polyval() 命令允许用户快速计算任何所需点处的多项式值。该工具支持处理实数和复数，这使其对不同行业的用户都很有价值。

在 MATLAB 中处理多项式系数

多项式使用不同的幂项和变量的系数来形成其基本的数学结构。MATLAB 通过一个易于处理系数数组的系统来处理多项式。正确理解多项式系数有助于我们最好地使用 polyval() 等函数。

1. 将多项式表示为系数向量

在 MATLAB 表示法中，多项式通过其系数向量以降序显示其指数结构。例如：

• 多项式 3x² + 2x + 1 表示为：

其中

• 3 是 x² 的系数，
• 2 是 x¹ 的系数，
• 1 是常数项 (x⁰)。
• 当多项式项之间存在间隙时，MATLAB 会用零值替换这些间隙。例如：
• 多项式 4x³ + x + 5（缺少 x²）表示为：

• 第二个位置的零对应于缺少的 x² 项。

2. 示例：多项式表示

• 多项式：5x⁴ - 3x³ + 7x - 2。
• 系数向量：

• 5：x⁴ 的系数，
• -3：x³ 的系数，
• 0：x² 的占位符，
• 7：x¹ 的系数，
• -2：常数项。
• 有了这个向量，MATLAB 就可以在任何位置检查多项式的值。

3. 处理高阶多项式

MATLAB 像处理其他多项式一样存储高阶多项式的系数数据，不同之处在于它使用向量中更多的元素，这取决于次数。示例：

• 多项式：2x⁶ - 4x⁵ + 3x⁴ - x + 8。
• 系数向量：

此处，为缺少的 x³ 和 x² 项添加了零。

4. 处理低阶多项式

低次多项式，包括基本数字和单项结构，需要较少的系数数量。

• 多项式 6x + 9

• 多项式 10（常数）

• 将系数按 x 的降序排列。
• 当确定特定值无法确定以保持方程处于多项式次数级别时，请在方程项中保留零位。
• 当检测到因向量定位不当而产生的错误时，MATLAB 会将向量中的所有值视为多项式的一部分。

多项式项的一致排列使 MATLAB 能够执行重要功能，包括多项式求值、导数计算、积分和求根。

polyval() 在 MATLAB 中的应用

MATLAB 用户依赖 polyval() 作为其首选解决方案，用于在任何点求多项式值，并为绘图生成数据，同时处理科学和工程中的复杂问题。

1. 在特定点上求多项式值

polyval() 的主要目的是计算任意给定点处多项式方程的输出。在处理数学模型和进行数值分析时，Polyval 被证明非常有用。

示例：计算多项式 P(x) = 3x² + 2x + 1 在 x=0, 1, 2 处的值。

polyval() 的存在使得进行实际的多项式实时计算成为可能。

2. 为绘制多项式曲线生成数据

工程和研究在很大程度上依赖于观察多项式的行为。polyval() 工具在不同值范围内生成多个数据点，以进行构建。

示例：生成并绘制 P(x) = x³ - 2x² + x - 1 在 x∈[-10, 10] 上的曲线。

研究人员欣赏这个工具，因为它展示了多项式在不同值区间内的反应和行为。

3. polyval() 的实际应用

a) 信号处理

在信号处理领域，专业人士使用多项式进行信号逼近和滤波器设计。polyval() 函数允许用户通过其求值功能来分析和重构多项式结果。

示例：计算给定范围内信号的多项式逼近值。

b) 控制系统

控制系统专家使用 polyval() 来检查传递函数的稳定性和性能，这些传递函数决定了整个系统的响应。

示例：计算基于多项式的系统模型的阶跃响应。

c) 曲线拟合和插值

多项式可以找到输入数据的最佳表示。在看到其系数后，polyval 函数会计算多个输入的多项式输出。

示例：拟合多项式到数据点并可视化曲线。

MATLAB 中可用的 polyval() 函数作为求值多项式的基本且用途广泛的工具。polyval() 函数具有多种用途，包括求多项式点值以及为生成平滑图形输出生成数据集。polyval() 函数在信号处理工作、控制系统分析和曲线拟合应用中提供不可或缺的价值，以在实际场景中实现准确的分析和高效的计算。polyval() 功能使用户能够以更高的速度求多项式值，同时加深对模型和工程系统的理解。