线性代数

求解线性系统

线性代数方程是以下形式的方程

a₁ x₁+a₂ x₂+a₃ x₃+⋯+a_n x_n=b

其中 a 是常数系数，x 是未知数，b 是一个常数。解是满足该方程的数字序列 s₁,s₂, 和 s₃。

示例

4x₁+5x₂-2x₃=16

是这样一个方程，其中有三个未知数：x₁,x₂,和 x₃。 这个方程的一个解是 x₁=3,x₂=4 和 x₃=8，因为 4*3+5*4-2*8 等于 16。

线性代数方程的系统是以下形式的方程组

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+a₁₃ x₃+⋯+a_1n x_n=b₁
a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+a₂₃ x₃+⋯+a_2n x_n=b₂
a₃₁ x₁+a₃₂ x₂+a₃₃ x₃+⋯+a_3n x_n=b₃
a_m1 x₁+a_m2 x₂+a_m3 x₃+⋯+a_mn x_n=b_m

这被称为 m*n 方程组；有 m 个方程和 n 个未知数。

矩阵形式

由于矩阵乘法的工作方式，这些方程可以用矩阵形式定义为 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数的列向量，b 是方程右侧的常数列向量。

A           x      =       b
a₁₁ a₁₂ a₁₃...a_1n       x₁       b₁
a₂₁ a₂₂ a₂₃...a_2n       x₂       b₂
a₃₁ a₃₂ a₃₃...a_3n       x₃       b₃
.............................       .............       ........
a_m1 a_m2 a_m3...a_mn       x_n       b_m

解集是方程组所有可能解的集合（所有求解该方程的未知数的值的集合）。所有线性方程组都有以下情况之一

• 无解
• 一个解
• 无穷多个解

使用矩阵逆的解法

解决该方程组的最简单方法可能是使用矩阵逆。

A^-1 A=1

我们可以将矩阵方程 AX= B 的两边乘以 A^-1 得到

A^-1 AX=A^-1 B

或

X=A^-1 B

因此，可以通过 A 的逆矩阵和列向量 b 的乘积来找到解。

在 MATLAB 中，有两种方法可以做到这一点，一种是使用内置的 inv 函数和矩阵乘法，另一种是使用 "\" 运算符

求解 2x2 方程组

最简单的系统是 2 x 2 系统，只有两个方程和两个未知数。 对于这些系统，矩阵的逆有一个简单的定义，它使用矩阵的行列式 D。

对于通常定义为 A 的系数矩阵

行列式 D 定义为 a₁₁ a₂₂-a₁₂ a₂₁

示例

          x₁+3x₂=-2
          2x₁+4x₂=1

这将以矩阵形式写成

行列式 D = 1*4 -3*2 = -2。

MATLAB 具有内置函数 det 来查找矩阵的行列式。