MATLAB 中列向量的应用

2025 年 7 月 26 日 | 7 分钟阅读

引言

MATLAB 数据结构的一个基本元素是列向量，它作为一系列按顺序排列的元素，这些元素出现在单个垂直位置。任何向量分量都可以通过其标记号获得，从索引一（与 MATLAB 的标准命名约定匹配）开始。

单一列结构：列向量在其设计中保持单列，同时具有多个行作为其结构。例如，列向量

有三行一列。
同质数据类型：构成向量的所有元素共享一种统一的数据分类，包括但不限于整数数据以及数值和逻辑形式。
维度：列向量的大小为 n×1，表示向量的计数元素有 n 行。

MATLAB 中的程序通过方括号显示列向量，其中每个元素都用分号分隔。例如

MATLAB 编程中列向量的重要性

对于 MATLAB 编程，列向量作为基本计算组件，因为它既满足编程要求又满足数学表示需求。向量和矩阵计算在“MATrix LABoratory”中的基础使得列向量对于 MATLAB 中的所有操作都至关重要。

数学表示：在线性代数应用中，点表示、方向引导和系统方程求解操作在根本上都利用了列向量运算。
高效数据处理：通过列格式进行向量存储可以减少信息空间需求，同时为数据处理保持高效的运算能力。
易于集成：MATLAB 工具生态系统，包含有关优化、信号处理和机器学习的培训，期望并将结果生成为列向量数组。

列向量的应用

工程
- 信号处理：收集的数据点显示为向量，其中每个顺序值对应于在预定时间间隔内记录的信号测量值。
- 控制系统：系统建模的方法遵循一种组织系统，其中状态变量以列向量的形式出现。
数据分析
- 统计分析：测量值中包含的信息存储为列向量，这使用户能够计算均值、标准差并找到中值。
机器学习
- 特征表示：在监督学习模型训练和预测期间，特征输入会成为要处理的归一化行向量。
- 优化算法：全局优化变量和优化框架内的权重通常以列向量的形式表示。

在 MATLAB 中创建列向量

1. 手动输入

手动定义列向量的语法

在 MATLAB 中，用户通过使用方括号（[]）并用分号（;）分隔元素来手动创建列向量。分号用于指示新行的开始，最终定义列向量数据结构。

语法

示例：创建一个简单的列向量

这是一个手动定义的列向量的示例

 
% Manually defining a column vector
column_vector = [5; 10; 15; 20];

% Displaying the column vector
disp(column_vector);   

输出

2. 使用内置函数

通过其内置函数，MATLAB 使用户能够高效地创建列向量。MATLAB 中的各种内置函数可在处理大型数据集时帮助用户创建特定的向量模式。

linspace 和冒号运算符等函数

linspace 函数：使用 linspace 函数，您可以在两个点之间创建均匀分布的值。

语法

示例

 
column_vector = linspace(1, 10, 5)';
disp(column_vector);   

输出

冒号运算符 (:)：紧凑的数学运算符 : 允许您创建具有一致步长的向量。

语法

示例

 
% Creating a column vector with a step size of 2
column_vector = (1:2:10)';
disp(column_vector);   

输出

zeros 和 ones 等函数

zeros 函数：此函数会生成一个零填充的列向量。

语法

示例

 
% Column vector with 4 rows of zeros
column_vector = zeros(4, 1);
disp(column_vector);   

输出

ones 函数：该函数然后生成一个包含单个值的向量列。

语法

示例

 
% Column vector with 4 rows of ones
column_vector = ones(4, 1);
disp(column_vector);   

输出

3. 从现有数据创建

将行向量转换为列向量

该函数然后生成一个包含单个值的向量列。要将行向量转换为列向量，必须使用转置运算符（'）。

示例

 
% Row vector
row_vector = [1, 2, 3, 4];

% Transposing to column vector
column_vector = row_vector';
disp(column_vector);   

输出

从矩阵或表中提取列

通过 MATLAB，您可以从矩阵或表中提取单个列来生成列向量。

从矩阵

 
% Defining a matrix
matrix = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

% Extracting the second column
column_vector = matrix(:, 2);
disp(column_vector);   

输出

从表中

 
% Creating a table
T = table([1; 2; 3], [4; 5; 6], 'VariableNames', {'A', 'B'});

% Extracting a column as a vector
column_vector = T.B;
disp(column_vector);   

输出

在 MATLAB 中访问和修改列向量中的元素

1. 列向量的索引技术

可以通过识别数值索引来访问列向量的元素。在 MATLAB 中，所有向量都从位置一开始索引其第一个元素。

基本索引

 
% Example Column Vector
vec = [10; 20; 30; 40; 50];

% Accessing Elements by Index
firstElement = vec(1);   % Returns 10
thirdElement = vec(3);   % Returns 30   

MATLAB 用户可以通过作为数组提供的索引来检索多元素数据。

 
% Accessing Multiple Elements
selectedElements = vec([1, 3, 5]);  % Returns [10; 30; 50]   

逻辑索引方法允许用户选择符合定义标准的元素。

 
% Logical Indexing Example
logicalIndices = vec > 25;   % Returns [0; 0; 1; 1; 1]
elementsGreaterThan25 = vec(logicalIndices);  % Returns [30; 40; 50]   

软件工程师可以通过冒号运算符轻松选择元素范围。

 
% Accessing a Range of Elements
subVector = vec(2:4);   % Returns [20; 30; 40]   

2. 修改特定索引处的元素

通过 MATLAB，用户可以通过提供其索引值来编辑列向量的元素。

单个元素修改

 
% Modify a Single Element
vec(2) = 25;  % Updates vec to [10; 25; 30; 40; 50]   

您可以使用索引数组一次修改多个向量元素。

 
% Modify Multiple Elements
vec([3, 5]) = [35, 55];  % Updates vec to [10; 25; 35; 40; 55]   

逻辑索引通过设置约束来实现元素修改。

 
% Modify Elements Greater than 40
vec(vec > 40) = 100;  % Updates vec to [10; 25; 35; 40; 100]   

3. 动态添加和删除元素

由于其灵活的结构，MATLAB 中的列向量可以通过简单的元素操作得到增强。

添加元素：您可以通过将新元素追加到现有元素后面或将它们插入到任何特定位置来添加新元素。

 
% Appending Elements
vec(end + 1) = 60;  % Adds 60 to the end, resulting in [10; 25; 35; 40; 100; 60]

% Inserting Elements at Specific Indices
vec = [vec(1:3); 45; vec(4:end)];  % Inserts 45 after the 3rd element   

删除元素：要从向量中删除元素，请将空数组 [] 分配给指定的索引范围。

 
% Removing Specific Elements
vec(3) = [];  % Removes the 3rd element, resulting in [10; 25; 40; 100; 60]

% Removing Multiple Elements
vec([2, 5]) = [];  % Removes 2nd and 5th elements, resulting in [10; 40; 100]   

清除整个列向量：使用空数组清除任何列向量的内容。

 
% Clear Column Vector
vec = [];  % Clears all elements   

MATLAB 支持多种索引方法，包括数值、逻辑以及基于范围的索引。
通过在特定索引处进行简单的值重新分配，列向量变得易于修改。
列向量的动态性使用户能够根据不同的应用需求插入或删除元素。

MATLAB 中列向量上的操作

在 MATLAB 中，数学和线性代数运算主要依赖于列向量作为基本构建块。通过其强大的功能集，MATLAB 使用户能够进行高效的列向量计算和向量操作。

基本数学运算

1. 加法和减法

对应向量元素的加法或元素之间的减法构成了逐元素运算。对于这些数学运算，向量需要具有完全匹配的维度约束。

语法

 
C = A + B; % Addition
D = A - B; % Subtraction   

示例

 
A = [2; 4; 6];
B = [1; 3; 5];
C = A + B; % Result: [3; 7; 11]
D = A - B; % Result: [1; 1; 1]   

2. 标量乘法

列向量中每个元素值的变换需要一个单一的数值因子。

语法

示例

 
A = [2; 4; 6];
scalar = 3;
C = scalar * A; % Result: [6; 12; 18]   

3. 逐元素运算

通过 .* 运算符执行的逐元素运算。

语法

示例

 
A = [2; 4; 6];
B = [1; 3; 5];
C = A .* B; % Result: [2; 12; 30]   

4. 广播

当向量与标量运算时，MATLAB 会执行自动尺寸调整，以在兼容的计算中保持精度。

示例

 
A = [2; 4; 6];
scalar = 3;
C = A + scalar; % Result: [5; 7; 9]   

点积和叉积

1. 点积

向量加法通过将向量列之间的逐元素乘积组合成一个标量值。向量需要具有相同的尺寸大小。

语法

示例

 
A = [2; 4; 6];
B = [1; 3; 5];
dotProduct = dot(A, B); % Result: 44 (2*1 + 4*3 + 6*5)   

2. 叉积

与两个输入向量一起工作的垂直向量在三维空间中起作用。两个向量都必须是 3 维的。

语法

示例

 
A = [1; 0; 0];
B = [0; 1; 0];
crossProduct = cross(A, B); % Result: [0; 0; 1]   

矩阵乘法

列向量与矩阵的兼容性

当列向量使用兼容的矩阵乘法时，矩阵的列数必须与向量的行数相同。

语法

示例

 
M = [1, 2; 3, 4; 5, 6];
A = [2; 4];
result = M * A; % Result: [10; 22; 34]   

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