MATLAB 中的 IIR 滤波器

引言

在数字信号处理（DSP）中，无限冲激响应（IIR）滤波器在音频处理、通信、生物医学信号处理等各种应用中起着至关重要的作用。与具有有限冲激响应的有限冲激响应（FIR）滤波器不同，IIR 滤波器具有无限冲激响应。

这一特性使得 IIR 滤波器能够用更少的滤波器系数实现所需的频率响应，从而在某些任务中具有更高的计算效率。

在 MATLAB 中设计 IIR 滤波器

MATLAB 提供了几种设计 IIR 滤波器的方法，包括 Butterworth、Chebyshev I 型和 II 型、Elliptic（Cauer）和 Bessel 滤波器。这些滤波器在通带纹波、阻带衰减和过渡带的陡峭度方面具有不同的频率响应特性和权衡。

Butterworth 滤波器： Butterworth 滤波器在通带中提供最大平坦的频率响应，并以阻带中逐渐衰减为特征。它通常用于需要平坦频率响应的应用。

Elliptic 滤波器： 也称为 Cauer 滤波器，Elliptic 滤波器在所有滤波器类型中提供最陡峭的衰减，但可能在通带和阻带中都存在纹波。它们适用于需要急剧过渡带和高阻带衰减的应用。

Bessel 滤波器： Bessel 滤波器提供最大平坦的群延迟，使其成为对相位失真敏感的应用（如数据通信系统和医学成像）的理想选择。

在 MATLAB 中设计无限冲激响应（IIR）滤波器是数字信号处理中的一项常见任务。IIR 滤波器具有反馈特性，这使得与有限冲激响应（FIR）滤波器相比，它们具有紧凑的表示和高效的实现。

步骤 1：理解滤波器规格

在设计 IIR 滤波器之前，必须定义其规格，包括：

• 滤波器类型（低通、高通、带通或带阻）
• 滤波器阶数
• 截止频率或通带和阻带频率
• 通带和阻带中的纹波（如有必要）
• 过渡带宽（用于带通和带阻滤波器）

步骤 2：使用 MATLAB 函数设计 IIR 滤波器

MATLAB 提供了几种设计 IIR 滤波器的函数，例如 butter、cheby1、cheby2、ellipse 等。这些函数分别对应不同的设计方法（Butterworth、Chebyshev I 型、Chebyshev II 型、Elliptic/Cauer）。

以设计一个具有以下规格的低通 Butterworth 滤波器为例：

• 滤波器阶数 = 4
• 截止频率 = 1 kHz
• 采样频率 = 5 kHz

在此示例中，b 和 a 分别是滤波器传递函数的分子和分母系数。

步骤 3：分析滤波器响应

设计完滤波器后，必须分析其频率响应和其他特性，以确保其满足所需的规格。MATLAB 提供了 freqz 等函数来计算和可视化滤波器的频率响应。

此代码绘制了设计的 Butterworth 滤波器的幅度和相位响应。

步骤 4：滤波器实现

一旦确定了滤波器设计，就可以使用 MATLAB 中的 filter 函数将其实现以过滤信号。

输出

步骤 5：进一步优化和评估

根据应用，您可能需要进一步优化滤波器设计，或使用阻带衰减、通带纹波、相位失真等指标来评估其性能。

在 MATLAB 中实现 IIR 滤波器

确定滤波器设计参数后，MATLAB 提供了实现这些滤波器的函数。'butter'、'cheby1'、'cheby2'、'ellipse' 和 'vessel' 函数用于设计相应类型的 IIR 滤波器。这些函数返回滤波器系数（对于高阶滤波器，是每个级的分子和分母系数），可以使用 'filter' 函数将这些系数应用于给定的输入信号。

在 MATLAB 中实现无限冲激响应（IIR）滤波器不仅包括设计滤波器，还包括将其应用于信号进行滤波。

下面是一个演示 IIR 滤波器实现的 MATLAB 程序：

输出

该程序实现了一个四阶低通 Butterworth 滤波器，截止频率为 1000 Hz。它生成了一个包含 500 Hz 和 2000 Hz 正弦分量的测试信号。然后，它使用 filter 函数将设计好的滤波器应用于该信号，并绘制原始信号和滤波后的信号。

在 MATLAB 中分析 IIR 滤波器

MATLAB 提供了各种用于分析 IIR 滤波器的函数，包括频率响应绘图、零极点分析、群延迟计算和冲激响应可视化。这些分析有助于理解设计滤波器的行为和性能。

频率响应分析

• IIR 滤波器的频率响应表示滤波器如何影响输入信号中的不同频率。MATLAB 提供了 freqz 等函数来计算和可视化滤波器的频率响应。
• 通过在一定频率范围内绘制幅度和相位响应，您可以评估通带纹波、阻带衰减和相位失真等特性。

相位响应

• 在必须最大程度地减少相位失真的应用中，相位响应至关重要，例如在音频和通信系统中。
• MATLAB 允许您使用 freqz 等函数分析和绘制滤波器的相位响应。

时域分析

• 检查滤波信号的时域行为有助于理解滤波器如何影响输入波形。
• MATLAB 使您能够使用 plot 函数在时域中绘制原始信号和滤波后的信号。

比较输入和输出信号，可以观察到滤波过程引入的任何变化，例如信号衰减、时间延迟或失真。

光谱分析

• 频谱分析涉及研究滤波前后信号的频率内容。MATLAB 提供了 pwelch 等函数来估计信号的功率谱密度（PSD）。
• 比较原始信号和滤波后信号的 PSD，可以深入了解滤波器如何修改输入信号的频率分量以及如何影响噪声水平。

设计规格的评估

• MATLAB 有助于评估设计规格，例如通带纹波、阻带衰减和过渡带宽。您可以验证设计滤波器是否满足所需性能标准。
• 调整滤波器参数并观察它们对滤波器响应的影响，有助于微调设计以满足特定要求。

下面是一个演示 IIR 滤波器分析的 MATLAB 程序：

输出

该程序分析了具有 1000 Hz 截止频率和 4 阶的低通 Butterworth 滤波器的频率响应和相位响应。它使用 freqz 函数计算频率响应，并在频率范围内绘制幅度响应（以 dB 为单位）和相位响应（以弧度为单位）。