MATLAB 中的 polyfit()

引言

MATLAB 平台中存在一个名为 polyfit() 的强大拟合解决方案。该函数确定最佳拟合多项式的可量化系数，该多项式在最小二乘模型中最小化与数据点的误差。该函数使专家能够生成具有多项式表达式的模型，并近似复杂的数据模式。

对独立变量 (x) 和因变量 (y) 数据使用 polyfit() 函数，可以计算多项式 n 次系数，从而最大限度地减少预测误差与实际数据点之间的差异。

多项式拟合在数据分析和建模中的重要性

多项式拟合是科学和工程工作中必不可少的过程之一，因为它可用于检查数据趋势、预测结果和简化复杂的变量连接。

• 数据近似： 该方法在现有数据附近创建近似的平滑曲线，以提高解释和可视化效率。
• 趋势分析： 通过多项式拟合可以进行趋势分析，因为用户可以发现无法直接观察到的隐藏模式和关系。
• 预测建模： 通过多项式方程应用预测建模，可以根据金融、工程以及研究领域的历史记录预测数据点。
• 复杂数据简化： 通过多项式拟合可以更轻松地分析复杂数据集，因为该过程可以更轻松地表示复杂数据集。

在物理学领域，弹丸轨迹和放射性物质衰变依赖于多项式拟合来模拟其行为。政治科学家利用该算法通过分析记录来预测市场模式。

语法概述

polyfit() 函数采用用户易于理解的语法结构。

输入

• x：x 变量包含所有独立变量测量值。
• y：因变量数据点包含在向量 y 中。
• n：拟合多项式所需的阶数用作参数 n。

输出

• p：最后一个参数提供 p 作为行向量，其中包含 x 的从高到低的多项式系数。

例如

函数执行后，用于预测未来数据的系数、斜率和截距值将存储在向量 p 中。可以通过 polyval() 获得评估的多项式值。

用户通过有效实施 polyfit()，可以在有价值的见解和跨各种领域的预测功能之间自定义其数据分析，从而实现准确的多项式模型生成。

多项式拟合

曲线近似的数学过程使用多项式拟合来生成指定数据点的多项式表示。该过程旨在发现一个方程，该方程与观测数据点匹配，同时能够预测和平滑嘈杂的数据点。

多项式及其在曲线拟合中的作用

多项式函数是当变量通过加法、减法和乘法与其相关系数组合时。该方程采用这种常见格式，同时表示这种模式的变体。

其中

• an,an−1,...,a0 是系数。
• x 是自变量。
• n 是多项式的次数。

变量连接的建模在曲线拟合过程中使用多项式。多项式能够根据数据需求调整其复杂性，这使得它们广泛用于近似数据集中的非线性趋势。

多项式次数及其对拟合精度的影响

多项式的值控制方程中最强大的 x 值，这会影响拟合精度和行为模式。

1. 低次多项式（例如，线性或二次）
   • 该技术最适用于基本数据趋势识别。
   • 多项式的次数拟合数据没有主要的过拟合问题，但它可能会忽略数据中的复杂模式。
2. 高次多项式
   • 回归方法生成与复杂数据模式对应的匹配。
   • 在存在噪声数据的情况下，多项式函数的拟合会变得错误，因为模型可能会将随机波动误认为是实际趋势。
3. 选择正确的次数
   • 目标应该是取得正确的度量，因为必须避免欠拟合和过拟合。
   • 交叉验证和残差分析技术的组合可以正确选择最佳拟合次数。

多项式拟合在实际问题中的常见用例示例

• 数据平滑和降噪： 传感器测量产生包含噪声的结果，因为数据不平滑。多项式拟合过程使数据更具可读性，同时保持数据点中的重要趋势。
• 科学实验： 在实验过程中，可以通过多项式模型分析多变量物理对象，因为二次多项式成功地表示了科学中的匀加速路径。
• 经济趋势分析： 多项式拟合使经济分析师能够通过捕获扩展趋势和规律模式来预测股票价格并分析 GDP 增长等指标。
• 工程应用： 按钮使用 polyfit 分析机械工程应力-应变数据以确定弹性特性。
• 环境建模： 使用多项式近似基于时间的气温或污染测量值有助于区分季节性模式并检测异常事件。

MATLAB 中 polyfit() 的主要特性

1. 数据数组灵活的输入大小

MATLAB 中的 polyfit() 通过处理不同大小的数组表现出极大的通用性，适用于处理大型和小型数据集的应用程序。

• 可扩展性： polyfit() 函数通过自动适应支持不同大小的数据输入，无需对现有程序代码进行重大调整。
• 支持向量输入： 该函数通过 x（自变量）和 y（因变量）管理两个输入数组，并执行数据比较以建立相等的向量长度。
• 性能一致性： polyfit() 函数为显示不均匀采样模式的数据集提供高效处理，并适应通常缺乏一致模式的实际数据集合。
• 用例示例

2. 高次多项式的处理

使用 polyfit() 允许用户完全自由地选择多项式次数来执行多项式拟合操作。

• 多项式次数控制： 多项式次数的输入参数控制数据拟合函数与输入数据匹配的级别。
• 防止过拟合： 高次多项式函数可以精确匹配数据点，但它们可能会创建过拟合条件，从而阻止模型在初始数据边界之外应用。
• 数值稳定性： 在 polyfit() 内部，MATLAB 应用复杂的算法来控制数据稳定性，特别是为了减轻主要影响高次多项式的数值误差。用户应该标准化他们的数据以提高数值精度，但是 polyfit() 在 MATLAB 中运行。
• 用例示例

3. 与其他 MATLAB 函数集成以进行高级分析

polyfit() 函数使其能够与 MATLAB 的其他功能平滑地接口，使用户能够执行各种基于 MATLAB 函数的分析并可视化其数据。

• polyval() 用于评估： polyval() 函数使用户能够评估 polyfit() 产生的多项式系数，用于绘图和计算特定点的值。

• 使用残差进行误差分析： 将 polyfit() 与 MATLAB 数组操作函数结合使用，用户可以计算残差以进行误差分析并评估拟合质量。

• 高级建模： 将 polyfit() 与 fminsearch() 等优化函数或其他曲线拟合工具集成，以实现稳健的模型开发。

polyfit() 的用户友好功能为 MATLAB 用户提供了强大的能力来执行多项式拟合数据分析和曲线建模。用户可以通过利用此工具的功能来克服多种类型的应用程序，包括基本数据插值和复杂的预测分析。

MATLAB 中 polyfit() 的语法和参数

MATLAB 开发人员经常选择 polyfit() 函数来执行数据点的多项式插值。polyfit() 的基本语法如下

1. x：自变量数据点

• 表示自变量（或输入数据）的值。
• 输入 x 必须排列成向量，其中只包含数值。
  • 示例

• 数组 x 需要与数组 y 相同数量的元素。
• x 中数据点的间距可能不同，同时与 y 中的点保持相等对应。

2. y：因变量数据点

• 表示因变量（或输出数据）的值。
• 向量需要数值作为输入。
  • 示例

• y 向量包含所有实验测量值。
• 数据集 y 保持与 x 相同数量的元素。

3. n：多项式的次数

• 所需的多项式次数拟合提供给定的数据结构。
• 拟合更高次多项式的优点是灵活性更好，但它也引发了过拟合可能发生的问题。
  • 示例

• 多项式次数的选择至关重要，因为它会影响数据拟合的准确性要求，同时保持最佳拟合。
• 所选次数可以是 1 或 2 或任何更高数字，具体取决于数据要求。

输出：系数向量 p

• 输出 p 包含从最高次到最低次的系数，在一个行向量中。
• 多项式系数按从最高次到最低次 n 的顺序出现，如下所示

其中 an 是 xn 的系数，a0 是常数项。

• 示例

在此示例中，拟合线为 y=2x+0。

• 可以使用 polyval() 函数和从多项式回归获得的系数来评估特定点。
• 数组 p 包含 p = n + 1 个值，表示多项式 n 的次数以及多项式系数。