根轨迹

引言

根轨迹是一种用于控制系统设计的图形化方法，用于分析和设计线性时不变系统的稳定性和瞬态响应，以及系统参数的变化。它在复平面上绘制传递函数的极点位置，因为某个参数（通常是增益K）发生变化。根轨迹有助于工程师理解系统参数的变化如何影响系统的稳定性和响应特性，从而设计出满足特定性能要求的控制器。

在MATLAB中，可以使用rlocus函数轻松绘制根轨迹，该函数接受传递函数或状态空间模型作为输入。该函数在增益参数变化时计算并绘制系统极点在复平面上的路径。MATLAB还提供交互式设计工具，允许用户调整增益并实时查看根轨迹图的变化。

在MATLAB中，根轨迹函数究竟是什么？

MATLAB中的根轨迹函数是rlocus。它用于绘制给定传递函数的根轨迹，该函数以图形方式表示系统极点在复平面上的轨迹，因为某个参数（通常是增益KKK）在变化。这种分析在控制系统设计中至关重要，因为它有助于工程师理解系统参数的变化如何影响稳定性和瞬态响应。

rlocus函数的基本语法是

其中，sys可以是传递函数（tf）、状态空间（ss）、零极点增益（zpk）或频率响应数据（frd）模型。rlocus函数计算闭环系统的特征方程的根，并绘制它们随增益KKK从0到∞\infty∞变化时的轨迹。

为了进行更详细的分析，MATLAB允许使用根轨迹图进行自定义和交互功能，使用户能够放大特定区域，分析特定增益值下的极点位置，甚至直接从图表中设计控制器。

该函数是MATLAB控制系统工具箱中分析和设计反馈控制系统的基本工具。

在MATLAB中，控制器设计器中的根轨迹是什么？

根轨迹控制系统设计器是MATLAB中的一个交互式工具，它协助工程师和控制系统设计者使用根轨迹图来分析和设计控制系统。该工具是控制系统工具箱的一部分，并提供了一个图形界面来可视化像增益这样的系统参数的变化对控制系统稳定性和性能的影响。

根轨迹控制系统设计器的主要特点包括：

• 交互式绘图：该工具允许用户交互式地绘制系统开环传递函数的根轨迹。用户可以调整系统增益或其他参数，并立即看到复平面上极点和零点位置的相应变化。
• 控制器设计：它支持比例-积分-微分（PID）控制器、超前-滞后补偿器和其他类型的补偿器的设计和调整。用户可以直接在根轨迹图上放置极点和零点，以实现所需的系统特性。
• 性能分析：该工具提供了分析设计控制系统性能的特性，包括沉降时间、超调量和稳态误差等时域规范。它还通过Bode图、Nyquist图和Nichols图提供频域分析。
• 稳定性和鲁棒性分析：用户可以通过检查增益裕度和相位裕度，以及极点相对于虚轴的位置来评估控制系统的稳定裕度和鲁棒性。
• 导出和实现：设计完控制器后，该工具允许将控制器参数导出，以便在实时系统中实现，或在MATLAB和Simulink中进行进一步的仿真。

根轨迹控制系统设计器特别适用于教育目的和实际的控制系统设计任务，它提供了一种直观的方式来理解控制系统参数和系统行为之间的关系。

示例

以下是一个在MATLAB中使用根轨迹控制系统设计器设计简单控制系统的示例。我们将为一个由传递函数表示的系统设计一个控制器。

系统定义

考虑一个具有以下传递函数的简单二阶系统：

G(s)=1s(s+2)(s+5)G(s) = \frac{1}{s(s + 2)(s + 5)}G(s)=s(s+2)(s+5)1

MATLAB代码

输出

说明

1. 定义传递函数
   
   • 使用分子和分母多项式的系数来定义传递函数G(s)G(s)G(s)。在本例中，分子为10，分母对应于s3+8s2+15ss^3 + 8s^2 + 15ss3+8s2+15s。这些系数分别在分子和分母数组中指定。
2. 创建传递函数对象
   
   • tf函数使用分子和分母创建一个传递函数模型sys。
3. 绘制根轨迹
   
   • rlocus函数为传递函数sys生成根轨迹图。此图显示了闭环系统极点在系统增益KKK变化时的位置。
4. 增强功能
   
   • grid on 为绘图添加网格，以提高可读性。
   • title 为绘图添加标题。

运行代码

• 在MATLAB中运行此脚本以可视化根轨迹图。该图将显示闭环极点随增益KKK变化的轨迹，帮助您分析系统的稳定性和响应特性。

您还可以向图中添加更多详细信息，例如特定的增益值，或使用MATLAB的交互式功能来进一步探索根轨迹。