线性拟合 MATLAB

引言

MATLAB 强大的数值计算环境提供了一个用于数据分析和可视化的广泛工具箱。MATLAB 的众多功能之一是其强大的线性拟合支持，它允许用户对变量之间的关系进行建模并进行回归分析。理解 MATLAB 中线性拟合的基础对于任何级别的数据分析师都至关重要，这使他们能够根据数据中的见解做出明智的决策。

在本介绍中，我们将探讨 MATLAB 中线性拟合的基础知识，介绍重要的概念、应用方法和线性回归的实际用途。完成本入门指南后，您将对如何利用 MATLAB 广泛的函数和功能集将线性拟合应用于数据分析任务有一个牢固的掌握。

MATLAB 的线性拟合函数语法如下：

MATLAB 中有几个函数可用于执行线性拟合，其中 polyfit 是最常用的工具。polyfit 函数使用最小二乘法来拟合多项式。具体来说，对于线性拟合，polyfit 函数将提供的​​数据点拟合为一阶多项式（即直线）。

语法

其中

x：独立变量的数据点向量。

Y：因变量的数据点向量。

N：多项式拟合的次数 n（对于线性拟合，设置为 1）。

该函数返回多项式拟合的系数，这些系数可用于确定线性方程的斜率和 y 截距。

此外，您还可以使用 polyval 函数使用从 polyfit 获得的系数创建拟合线，或在特定位置评估多项式。

使用 polyval 的标准语法如下：

其中

P：Polyfit 返回的系数向量。

x：独立变量的数据点向量。

通过学习和使用这些 MATLAB 算法，您可以有效地进行回归分析和线性拟合。

下面提供了一个使用这些函数方法的示例：

示例

输出

MATLAB 线性拟合的理解

在线性拟合，通常称为线性回归中，统计学和数据分析中的基本方法。

• 它用于建模因变量与一个或多个自变量之间的关系。MATLAB 中的简单线性拟合技术使用户能够分析数据、预测结果并从数据中提取见解。
• 在本教程中，我们将介绍 MATLAB 中线性拟合的基础知识、如何实现它以及一些展示其用途的实际示例。

线性拟合的原理

线性拟合的目标是找到最佳拟合线来表示两个或多个变量之间的关系。假设变量之间存在线性关系，模型表明一个变量的变化会对另一个变量的变化产生直接成比例的影响。简单线性回归仅考虑一个自变量和一个因变量，而多元线性回归则包含多个自变量。

线性拟合的假设

在使用这种统计方法之前，了解线性拟合或线性回归的基本假设至关重要。这些假设充当指南，以确保分析结果的可靠性和有效性。理解这些假设有助于准确解释输出并基于分析做出决策。

线性拟合的基本假设包括：

最基本的一个假设是自变量和因变量之间存在线性关系。这意味着自变量的变化与因变量的变化之间存在直接的比例关系。

误差独立性：观测值与期望值之间的差异，也称为残差或误差，应彼此独立。根据这一假设，一个观测值的误差不应影响后续观测值的误差。

同方差性：这表明残差的方差在自变量的所有水平上应保持恒定。换句话说，残差的分布应在自变量的范围内保持一致。残差的正态性：根据正态性假设，残差需要呈正态分布。

无多重共线性：这表明误差应由均值为零的正态分布来表征。当存在多个自变量时，不应存在多重共线性。多重共线性是由于两个或多个独立的...

无异常值或重要点：异常值或重要点会极大地影响线性拟合的结果。这些数据项有可能扭曲计算出的系数，进而影响模型的整体拟合。

虽然违反这些假设并不一定意味着线性拟合是错误的，但它确实会影响结果的准确性和可靠性。

• 在任何分析中实施线性拟合之前，评估这些假设并采取适当措施纠正任何违规行为都是至关重要的。
• 为了确保线性拟合分析的稳健性，残差分析、诊断图和影响点识别等方法有助于评估和减轻任何违规行为。

实施

输出

基于线性拟合过程中发现的系数，使用 polyval 函数生成拟合线。它使用发现的系数在 x 中的数据点处计算多项式，以获得相应的因变量拟合值。

• polyfit 函数用于线性拟合样本数据点。通过将第三个输入设置为 1，我们表示我们希望拟合一个一阶多项式，这对应于一条直线。
• 该函数返回线性拟合的系数，这些系数代表了最佳拟合线的斜率和 y 截距。

应用

经济分析和预测：GDP、通货膨胀率和就业数据等经济数据都可以使用线性拟合进行分析。通过对历史数据拟合线性模型，经济学家可以自信地预测未来的经济趋势。

物理科学和工程：科学家和工程师使用线性拟合来模拟物理现象，例如放射性元素随时间的衰减或机械系统中力与位移的关系。通过对实验数据拟合线性模型，可以获得重要的见解并预测复杂系统的行为。

生物医学研究和健康科学：药物剂量、患者对治疗的反应以及疾病随时间的发展等数据均在该领域的线性拟合中使用。通过对临床数据使用线性模型，研究人员能够确定治疗效果，预测患者结局，并发现相关性。

市场和金融分析：在检查股票价格、市场趋势和金融数据时，经常使用线性拟合。分析师可以通过对过去的股票市场数据拟合线性模型来预测未来的市场走势，识别趋势和评估风险。

环境研究和气候分析：环境科学家在分析温度波动、生态趋势和气候变化等数据时采用线性拟合。研究人员可以通过对环境数据拟合线性模型来评估人类活动对环境的影响，预测未来气候模式，并建议缓解措施。

社会科学和教育研究：学生表现、教育干预和社会行为等方面的数据通过线性拟合被社会科学和教育研究人员进行分析。他们可以通过对行为和教育数据拟合线性模型来确定影响学生表现的因素，评估教育项目的成功与否，并推荐政策。