非线性动力学

引言

非线性动力学被描述为一种条件，在这种条件下，输入到输出的变化与变化不成正比。此类系统对初始条件敏感；也就是说，初始状态的微小变化可能导致系统行为发生巨大的定性转变。与可以通过常微分方程表征且具有相当确定性特征的线性系统相比，非线性系统包含反馈元件、相互作用和噪声。非线性动力学是一门研究此类混沌节律、揭示秩序如何产生类随机运动的学科。

在各领域的重要性

• 物理学：非线性动力学尤其对描述涉及湍流、流体和气候的系统行为至关重要。例如，大气系统是非线性的，非线性动力学的分析使气象学家能够预测天气变化并分析气候系统。
• 生物学：生物学的许多现象需要通过非线性动力学来描述，包括种群动态、大脑活动和流行病。
• 经济学：有理由认为，非线性动力学的应用可以增进对市场、股市崩盘和宏观经济系统波动的理解。因此，经济系统包含反馈机制，这些机制使得消费者行为或市场整体情绪的微小变化能够导致价格和/或供求的剧烈波动。

非线性动力学基础

1. 非线性

因此，非线性是系统的一个特征，在该特征中，输入决定输出的能力并不总是直接确定的。人们应该意识到，非线性系统可能比主要的、基于线性规则的模型（例如，直线方程）以更复杂的方式做出反应。

• 示例 1：当我们谈论从摆锤测量出的角度时，对于较小的角度位移，它可能具有指向线性运动的直线角度位移；而在较大角度的情况下，它将进行三角函数性质的角度位移。
• 示例 2：牧场系统的种群增长是非线性的，当考虑有限资源或物理环境变化等约束时，会出现逻辑斯蒂增长，而不是指数增长。

非线性系统的特征

• 对初始条件的敏感性：非线性系统如何开始对其最终状态的确定具有重要意义，使其成为混沌理论的模型。
• 多重平衡点：正如所见，非线性系统表现出多重平衡点，无论是稳定的还是不稳定的。
• 分岔：分岔在非线性系统中非常普遍，参数值的一个微小变化会导致行为的定性转变。
• 叠加原理失效：还值得注意的是，线性系统中有效的叠加原理（输出和跟随输入和）对于非线性系统无效。

图 1. 非线性动力学

2. 动力系统

动力系统是根据定律或参数改变的系统的集合。然后，可以使用状态空间来描述给定动力系统的行为。

• 状态空间：这是多维空间，其中每个维度等于系统的一个特征（例如，位置、速度、温度）。该空间中的一个点表示在任何给定时间系统中存在的条件。
• 轨迹：因此，系统随时间的发展由系统在状态空间中的路径表示。随着时间的推移，该点在表示系统特征的轨迹上改变其位置。这些应有助于研究系统从一个状态到另一个状态的动力学。

动力系统类型

• 离散动力系统：在这些系统中，时间被量化或以阶梯函数形式变化。系统的状态会定期改变。
• 示例：种群模型中的逻辑斯蒂映射，时间离散，可量化为世代。
• 连续动力系统：这里，时间被假定为连续的；系统不会跳跃，这意味着它随时间连续演化。大多数情况下，此类系统由微分方程描述。
• 示例：由引力和经典牛顿定律调节的行星运动，以及随时间连续运动。

3. 相空间

相空间可以被理解为一种特殊的が状态空间，它与动力系统相关联。在相空间中，所有轴都对应于系统的一个状态变量，例如，动力系统的位移和速度。在相空间中，轨迹有助于在许多情况下确定稳定性程度、混沌和周期性。

• 示例：对于一个简单的摆锤，相空间可能是二维的，其中摆锤的位置是一个坐标，动量是第二个坐标。它们随时间的相互作用将在该空间中定义一条轨迹，并且结果系统将再次开始显现新的现象。

在分析非线性系统中的重要性

• 系统行为可视化：借助相空间可以轻松理解和建模非线性系统。一条轨迹可以指示系统是稳定的、接近平衡的，还是不稳定的，其轨迹可能会以不可预测的方式扩散。
• 吸引子识别：在相空间中，吸引子可以定义为给定系统倾向于演化的状态的集合。例如，异宿轨道是非线性系统的一个典型特征，这些系统具有称为奇怪吸引子的特殊吸引子；这给人一种混沌的印象，尽管轨迹被限制在相空间中的特定区域内。
• 稳定性分析：全局分析揭示了不动点和周期轨道，而相空间则提供了有关复杂非线性系统轨迹和稳定性的信息。

非线性动力学中的关键现象

这是非线性动力学，其中输出与输入不成正比，因此表现出丰富且有时不可预测的行为。

1. 混沌理论

混沌被描述为周期性确定性方程中运动的类随机性质。然而，混沌系统包含控制特定环境的规则，因此，由于混沌最终状态对初始条件的极端敏感性，预测此类系统的长期行为几乎是不可能的。此外，混沌并非随机，而是指在确定性系统中，秩序产生于无序。

混沌系统示例

混沌行为的一个例子是洛伦兹吸引子，它源自一组均匀对流方程。洛伦兹吸引子还显示出混沌运动，没有其他天气模型中发现的异宿轨道或不动点。在实际设置中，这个稳定系统被用来展示自然天气系统中固有的混沌。

2. 奇怪吸引子

奇怪吸引子是属于混沌系统的吸引子。与不动点、极限环等其他类型的吸引子相比，奇怪吸引子在复杂动力系统的系统空间中具有分形拓扑。它们表达了即使系统中存在随机性，混沌系统也会驱动的状态集合。

可视化和示例

自治系统通常由相空间图描述，其中根据其状态变量描绘了自组织系统的轨迹。吸引子有两种类型：不动点吸引子和奇怪吸引子，其中最著名的是蝴蝶翅膀形状的洛伦兹吸引子。另一个奇怪吸引子的例子是 Rössler 吸引子；然而，它具有相当嘈杂、混沌的模式，但其几何结构比洛伦兹吸引子更直接。

3. 非线性振动

另一方面，非线性振动是系统中不表现出像线性振子那样简单周期性运动的振动类型。非线性振动与简谐运动不同，其自然频率和振幅可能会根据非线性系统的状态或其内部的输入和相互作用而变化。例如，极限环是 FG 的一种类型，其中系统呈现稳定的周期性行为，但非谐。一个例子是范德波尔振子，它表现出非线性阻尼，并在电子电路和生物节律中得到应用。

图 2. 非线性动力学工具