李雅普诺夫稳定性

引言

在动力学系统中，稳定性是指系统在受到扰动后恢复到平衡状态的能力。更准确地说，当系统受到轻微扰动而偏离其初始位置或轨迹时，如果它倾向于恢复到其初始状态或在一段时间内保持在其附近，则称该系统是稳定的。另一方面，当受到扰动时，不稳定系统会离其平衡点更远。

Lyapunov 稳定性理论

Lyapunov 稳定性是一种确定动态系统在面临小干扰时是否会保持稳定或恢复到平衡状态的稳健方法。如果一个系统在受到微小扰动后，即使偏离其平衡点，也能保持在有限区域内且不再进一步偏离，则认为该系统是 Lyapunov 稳定的。

• Lyapunov 稳定性：一个系统在靠近平衡点开始，将会在所有时间都保持在那里。Lyapunov 稳定性理论的核心思想是利用一个 Lyapunov 函数，它类似于一个“能量类”函数。
• Lyapunov 函数：这个标量函数 V(x) 揭示了系统的能量或状态。由于该函数是正定的（即 V(x) > 0 当 x ≠ 0，V(0) = 0），因此它只能在平衡点处达到最小值。

Lyapunov 函数的特征

• V(x) 是正定的，这意味着对于任何非零的 x，V(x) > 0 且 V(0) = 0。
• 对于稳定性，V(x) 的时间导数，称为 dot{V}(x)，是负半定的。渐近稳定的系统是 dot{V}(x) < 0 的系统。
• 当系统的状态偏离平衡点越远时，该函数的值越大，这表明系统的状态倾向于恢复到平衡点。

Lyapunov 稳定性定理

1. Lyapunov 第一稳定性定理

Lyapunov 第一稳定性定理，也称为 Lyapunov 直接法，提供了一种无需求解控制系统的微分方程即可确定平衡点稳定性的方法。该方法基于 Lyapunov 函数的概念，这是一个标量函数，类似于能量，用于评估稳定性。

定理陈述

假设一个动态系统的平衡点是 x = 0。如果一个连续可微的函数 V(x) 具有以下两个性质，那么它在 Lyapunov 意义下是稳定的：

• 对于所有 x≠0，V(x) > 0（即 V(x) 是正定的）。
• dot{V}(x)≤0（即 V(x) 的时间导数是非正的）。
• 示例：考虑一个简单的单摆。可以使用势能函数作为 Lyapunov 函数来证明围绕平衡点或最低点的小振动的稳定性。

2. Lyapunov 第二稳定性定理

通过建立渐近稳定性（即系统不仅保持在平衡点附近，而且最终会随着时间回到平衡点）的条件，Lyapunov 第二稳定性定理在前者的基础上进行了扩展。

定理陈述

设 x = 0 为一个动态系统的平衡点。如果存在一个连续可微的 Lyapunov 函数 V(x) 满足以下条件，则平衡点 x=0 是渐近稳定的：

• 对于所有 x≠0，V(x) > 0（正定）。
• 对于所有 x≠0，dot{V}(x) < 0（负定）。
• 示例：考虑一个阻尼谐振子。耗散力（如摩擦力）将导致系统逐渐停止在平衡点。Lyapunov 函数可以证明它具有渐近稳定性，因为系统的能量会随着时间减少。

3. 全局稳定性定理

全局稳定性是指适用于系统状态空间的稳定性，而不是仅限于平衡点附近的局部稳定性。换句话说，如果保证了全局稳定性，那么无论系统从何处开始，它总是会趋向于平衡点。

全局稳定性陈述

一个系统要被认为是全局稳定的，其 Lyapunov 函数 V(x) 必须满足整个状态空间内的以下条件：

• 对于任何 x≠0，V(x) 是正定的。
• 对于所有 x≠0，dot{V}(x) 是负定的。
• 当 |x| → ∞ 时，V(x) → ∞（即，当状态远离原点时，V(x) 增长无界）。
• 示例：考虑以下情况：在种群动力学中，一些捕食者-猎物模型可能表现出全局稳定性，在这种情况下，无论其初始数量如何，种群都会恢复到平衡状态，前提是 Lyapunov 函数证实了全局行为。