小波变换

2025 年 3 月 1 日 | 阅读 4 分钟

引言

小波变换是一种强大的数学工具，用于信号处理和图像分析中，将信号分解为不同尺度的组成部分。与提供频率信息的傅里叶变换不同，小波变换提供时间和频率局部化。这是通过使用小波实现的，小波是可以缩放和平移的小型振荡函数。连续小波变换 (CWT) 涉及将信号与不同尺度的小波函数进行卷积，而离散小波变换 (DWT) 对离散数据进行操作，并涉及用于多分辨率分析的滤波器组。小波特别适用于分析非平稳信号，其中频率分量随时间变化。

在 MATLAB 中，可以使用 Wavelet Toolbox 执行小波变换，该工具箱提供了 CWT 和 DWT 的功能。MATLAB 中的 cwt 函数计算连续小波变换，允许用户分析信号的时频特性。另一方面，dwt 函数计算离散小波变换，有助于将信号分解为不同级别的近似和细节系数。

MATLAB 的小波变换函数有什么作用？

在 MATLAB 中，有几个函数可用于执行小波变换，具体取决于您需要的变换类型。以下是一些关键函数

连续小波变换 (CWT)

cwt: 计算连续小波变换。

离散小波变换 (DWT)

dwt: 计算单级离散小波变换。

wname 是所用小波的名称（例如，“db1”、“haar”）。

多级离散小波变换

wavedec: 计算多级离散小波分解。

N 是分解级别。

逆离散小波变换

idwt: 计算单级逆离散小波变换。

waverec: 从多级分解中重建信号。

平稳小波变换 (SWT)

swt: 计算平稳小波变换。

逆平稳小波变换

iswt: 计算逆平稳小波变换。

这些函数是 MATLAB Wavelet Toolbox 的一部分，该工具箱提供了一套全面的小波分析工具。

在 MATLAB 中，有几种类型的小波变换可用，每种都适用于不同的应用和数据类型。以下是主要类型

示例 1

连续小波变换 (CWT)

% Generate a sample signal
fs = 1000;          % Sampling frequency
t = 0:1/fs:1-1/fs;  % Time vector
freq = 50;          % Frequency of the sinusoidal signal
signal = sin(2*pi*freq*t) + 0.5*randn(size(t)); % Sinusoidal signal with noise
% Define a simple Morlet wavelet
wname = 'cmor1-1.5'; % Complex Morlet wavelet
% Create scales
scales = 1:128;
% Compute CWT using custom function
cwt_coeffs = cwt_custom(signal, scales, wname);
% Plot the signal and its CWT
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, signal);
title('Original Signal');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
subplot(2,1,2);
imagesc(t, scales, abs(cwt_coeffs));
axis xy;
title('Continuous Wavelet Transform');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Scales');
function cwt_coeffs = cwt_custom(signal, scales, wname)
    % Custom CWT implementation using convolution
    % signal: Input signal
    % scales: Scales for the CWT
    % wname: Wavelet name
    % Length of the signal
    n = length(signal);
    % Pre-allocate coefficients matrix
    cwt_coeffs = zeros(length(scales), n);
    % Compute CWT
    for i = 1:length(scales)
        scale = scales(i);
        % Generate wavelet at the current scale
        wavelet = wavefun(scale, n, wname);
        % Convolve signal with wavelet
        cwt_coeffs(i, :) = conv(signal, wavelet, 'same');
    end
end
function wavelet = wavefun(scale, n, wname)
    % Generate a wavelet at a specific scale
    t = (-n/2:n/2-1) / scale;
    if strcmp(wname, 'cmor1-1.5')
        % Complex Morlet wavelet
        wavelet = exp(2 * pi * 1i * t) .* exp(-t.^2 / 2);
    else
        error('Unknown wavelet type');
    end
end

输出

示例 2

离散小波变换 (DWT)

% Generate a sample signal
fs = 1000;          
t = 0:1/fs:1-1/fs;  % Time vector
freq = 50;          % Frequency of the sinusoidal signal
signal = sin(2*pi*freq*t) + 0.5*randn(size(t)); % Sinusoidal signal with noise
% Custom single-level Haar wavelet transform
[approx, detail] = custom_dwt(signal);
% Plot the original signal and its DWT coefficients
figure;
subplot(3,1,1);
plot(t, signal);
title('Original Signal');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
subplot(3,1,2);
plot(approx);
title('Approximation Coefficients (Haar)');
xlabel('Samples');
ylabel('Amplitude');
subplot(3,1,3);
plot(detail);
title('Detail Coefficients (Haar)');
xlabel('Samples');
ylabel('Amplitude');
function [approx, detail] = custom_dwt(signal)
    % Custom single-level Haar wavelet transform
    % signal: Input signal
    n = length(signal);
    % Ensure the length of the signal is even
    if mod(n, 2) ~= 0
        signal = [signal, 0];
        n = n + 1;
    end
    % Pre-allocate approximation and detail coefficients
    approx = zeros(1, n/2);
    detail = zeros(1, n/2);
    % Compute approximation and detail coefficients using Haar wavelet
    for i = 1:2:n
        approx((i+1)/2) = (signal(i) + signal(i+1)) / 2;
        detail((i+1)/2) = (signal(i) - signal(i+1)) / 2;
    end
end

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