Matlab 自相关

引言

自相关是信号处理中的一个基本概念，通过测量信号与其自身的时间偏移版本之间的相似度来揭示信号固有的模式。在 MATLAB 中，自相关在各种应用中起着关键作用，提供了对信号特性的洞察，并有助于各个领域。

理解自相关

简单来说，自相关就是将一个信号与其延迟版本进行比较。这个过程对于识别重复模式和从时间序列数据中提取有价值的信息至关重要。

• 自相关是信号处理中的一个基本概念，通过检查信号与其自身的时间偏移版本之间的相似度来揭示信号的复杂细节。

自相关基础知识

其核心在于，自相关是对一个信号与其在时间上偏移的版本之间相似度的度量。

在数学上，对于连续信号 x(t)，自相关函数 R(τ) 定义为

对于离散信号，自相关函数给出

其中，τ 代表时间偏移，k 代表离散滞后。

基本自相关实现

MATLAB 中的基本自相关实现涉及计算给定信号的自相关函数并可视化结果。

• 自相关是信号处理中的一项基本操作，用于测量信号与其自身的时间偏移版本之间的相似度。

首先，让我们考虑一个简单的例子：我们生成一个随机信号，并使用 MATLAB 中的 **xcorr** 函数计算其自相关。

示例

输出

说明

我们使用 randn 生成一个长度为 100 的随机信号。xcorr 函数计算信号的自相关。将计算出的自相关值绘制在时间滞后图上。

识别自相关峰值

在 MATLAB 中，findpeaks 函数通常用于定位自相关函数中的峰值。

• 通过分析自相关结果，研究人员和从业者可以识别信号中的重要特征，例如基频或主谐波。
• 这些峰值提供了对信号底层结构和特性的宝贵见解，有助于进一步的分析和解释。

MATLAB 中的 findpeaks 函数可用于此任务。

示例

输出

此外，可视化自相关峰值可以清晰地表示信号的周期性分量。

• MATLAB 的绘图功能使用户能够将峰值叠加在自相关图上，为识别出的特征提供视觉参考。
• 通过检查峰值的分布和幅度，分析人员可以更深入地了解信号的行为，并在信号处理任务中做出明智的决定。

说明

findpeaks 函数用于定位自相关函数中的峰值。然后将峰值绘制在自相关图上，直观地表示重要特征。

自定义自相关图

MATLAB 允许用户自定义自相关图，以增强清晰度和洞察力。

自定义参数

线宽

调整线宽有助于突出自相关曲线，使其更加醒目，更容易与其他绘图元素区分开来。

颜色

选择合适的配色方案可以增强图表的美观度和清晰度。MATLAB 允许使用 RGB 值或预定义颜色名称来指定颜色。

网格显示

在图表上启用网格线可以提供额外的参考点，有助于准确解释不同时间滞后的自相关值。

这是一个自定义图表的示例:

输出

说明

LineWidth 和 Color 选项用于调整自相关图的外观。Grid on 添加了网格以提高可读性。

高级自相关技术

对于更高级的应用，MATLAB 提供了额外的技术，例如使用窗口函数或基于傅里叶变换的方法。

用于提高准确性的窗口函数

• 在计算自相关之前应用窗口函数可以减轻边缘效应并提高准确性，尤其对于有限持续时间的信号。
• 常用的窗口包括 Hamming、Hann 和 Blackman-Harris。
• 这些窗口会使信号的边缘变窄，减少频谱泄漏，从而提供更可靠的自相关结果。

MATLAB 提供了各种窗口函数，这里我们将演示 Hamming 窗口的使用

输出

信号使用 element-wise 方式与 Hamming 窗口相乘。然后将核心函数应用于加窗信号，从而提供更准确的自相关结果。

多元自相关

将自相关扩展到多元信号，可以分析多个时间序列变量之间的关系。多元自相关技术，如互协方差和互相关矩阵，能够检查不同变量之间的相互依赖性和滞后关系，从而深入了解复杂系统的动态。

示例

输出

说明

• 我们生成一个包含 100 个样本和 3 个变量的示例多元时间序列数据（data）。
• 我们通过迭代所有变量对并使用 xcorr 函数计算它们之间的互相关来计算互相关矩阵（cross_corr_matrix）。
• 最后，我们绘制每个变量对的互相关矩阵，显示不同时间滞后的互相关值。

频域自相关

通过基于傅里叶变换的方法将信号转换到频域，为自相关分析提供了一种替代方法。

• 频域中的自相关涉及计算功率谱密度 (PSD)，并从频率分量中间接提取自相关信息。
• 这种技术特别适用于分析具有明显频率分量或周期性行为的信号。

示例

输出

说明

• 我们生成一个包含正弦分量和噪声的示例信号。
• 使用 fft 计算信号的傅里叶变换。
• 傅里叶变换的平方幅度得到功率谱密度 (PSD)。
• 然后我们对 PSD 进行逆傅里叶变换 (ifft)，以在时域中获得自相关函数。
• 最后，我们绘制自相关函数以可视化结果。

时频自相关

结合时频分析方法，如小波变换或频谱图，可以检查跨时间和频率域的自相关动态。

• 时频自相关技术可以更全面地理解信号特性，捕捉瞬态特征和随时间变化的频率，而这些在传统自相关分析中可能会被忽略。

示例

输出

说明

• 我们生成一个包含正弦分量和噪声的示例信号。
• 我们定义了频谱图的参数，包括窗口大小和重叠。
• 使用 spectrogram 函数计算信号的频谱图。
• 我们使用 score 函数计算频谱图的自相关。

基于傅里叶变换的方法

傅里叶变换为在频域分析信号提供了强大的工具。在自相关的背景下，我们可以利用傅里叶变换间接计算自相关函数。

基于傅里叶变换的自相关步骤

计算傅里叶变换

首先计算感兴趣信号的傅里叶变换。傅里叶变换将信号分解为其频率分量，揭示信号的光谱内容。

计算功率谱密度 (PSD)

平方傅里叶变换的幅度以获得功率谱密度 (PSD)。PSD 代表信号功率在不同频率上的分布。

逆傅里叶变换 (IFT)

对平方幅度进行逆傅里叶变换，以在时域中获得自相关函数。此步骤有效地将频域表示转换回时域。

示例

输出

说明

基于傅里叶变换的自相关涉及对信号傅里叶变换的平方幅度进行逆傅里叶变换。这项技术提供了自相关的一个替代视角，在某些情况下很有用。