MATLAB Quadprog

引言

MATLAB 是一个广泛使用的数值计算环境，它提供了一个强大的优化工具箱，其中包含各种用于解决优化问题的函数。其中一个这样的函数是 quadprog，它代表二次规划。二次规划是数学优化的一种特殊情况，其中目标函数是二次的，约束是线性的。在本综合指南中，我们将深入探讨 MATLAB 中 quadprog 的详细信息，探讨其语法和应用，并提供实际示例以增强您的理解。

理解二次规划

二次规划基础

二次规划涉及在满足线性等式和不等式约束的情况下优化二次目标函数。二次规划问题的通用形式可以表示如下：

最小化12xTHx+fTx 主题是约束A⋅x≤b C⋅x=d

这里，x 是决策变量向量，H 是对称正定矩阵，f 是列向量，而 A、b、C 和 d 代表定义线性约束的矩阵和向量。

quadprog 函数

MATLAB 中的 quadprog 函数旨在解决二次规划问题。

其语法如下：

让我们分解一下参数：

• H 是二次目标函数的 Hessian 矩阵。
• f 是目标函数的线性项向量。
• A 和 b 是定义线性不等式约束 (an⋅x≤b) 的矩阵。
• Aeq 和 beq 是定义线性等式约束 (Aeq⋅x=beq) 的矩阵。
• lb 和 ub 是定义决策变量下界和上界的向量。
• x0 是解决方案的初始猜测。

Options 是一个结构体，用于指定各种优化选项。

该函数返回最优解向量 x、目标函数值的最小值 value、指示优化状态的退出标志（exit flag）、其他输出信息 output 以及与约束相关的拉格朗日乘子 lambda。

实际示例

为了更好地理解如何使用 quadprog 函数，让我们通过几个实际示例来演示。

投资组合优化

考虑一个金融投资组合优化问题，您希望在不同资产之间分配资金，以在保持一定风险水平的同时最大化预期收益。

目标函数可以表述为：

最大化2ΣmaximizeμTx-2γ xTΣx

这里，μ 是预期收益向量，ΣΣ 是收益的协方差矩阵，x 是资产权重向量，γ 是风险厌恶参数。

在此示例中，我们最大化预期收益，同时将权重之和限制为等于 1。quadprog 函数有助于我们找到最佳资产权重。

输出

定义参数

在这里，我们有一个包含三种资产的金融场景。mu 代表每种资产的预期收益，Sigma 是捕获资产之间关系的协方差矩阵。Gamma 是风险厌恶参数。

构建二次规划问题

Hessian 矩阵 H 由风险厌恶参数 gamma 乘以协方差矩阵 Sigma 得到。

线性项向量 f 是预期收益的负值 (-mu)。

线性等式约束使用 Aeq 和 beq 指定。在这种情况下，它确保资产权重的总和等于 1。

使用 Quadprog 解决问题

quadprog 函数用于解决二次规划问题。

H 和 f 定义了目标函数，而 Aeq 和 beq 定义了线性等式约束。

决策变量 x 代表最优资产权重，value 是目标函数的最小值，exit flag 指示优化状态，output 提供了额外的输出信息，lambda 包含与约束相关的拉格朗日乘子。

显示结果

最优资产权重、最优预期收益和退出标志会显示在控制台中。

示例：支持向量机 (SVM)

二次规划通常用于机器学习，特别是在训练支持向量机 (SVM) 时。让我们考虑一个简化的线性 SVM 问题：

最小化12wTw 主题是约束yi (wTxi +b)≥1

这里，w 是权重向量，b 是偏置项，xi 是一个训练样本，yi 是其对应的类别标签。

输出

在此示例中，我们使用合成数据来训练线性 SVM。quadprog 函数有助于我们找到最优权重向量和偏置项，从而使 SVM 能够对新数据点进行分类。

选择合适的算法

quadprog 默认使用内点算法，但对于大规模问题，可以考虑使用激活集（active-set）或信赖域反射（trust-region-reflective）等专用算法，通过指定 'Algorithm' 选项来实现。

正则化

确保 Hessian 矩阵 (H) 是正定的，以保证唯一解。

对于病态问题，可以考虑向 H 添加一个小的正则化项以提高数值稳定性。

缩放

缩放决策变量和约束可以显著影响优化性能。使用 'ScaleProblem' 选项根据问题的特性自动缩放问题。

热启动（Warm Starts）

提供一个好的初始猜测 (x0) 可以加快收敛速度。可以使用相似问题的解决方案或启发式方法来获得合理的起点。

输出解释

注意退出标志，它指示优化的状态。正值（通常是 1）通常表示成功。

• MATLAB 的 quadprog 函数是解决二次规划问题的宝贵工具，它提供了灵活高效的优化框架。
• 无论您是在进行金融投资组合优化、机器学习还是任何涉及二次目标和线性约束的其他应用，quadprog 都提供了强大的解决方案。
• 通过了解其语法、应用和最佳实践，您可以利用这个强大的工具来解决您在数值计算中的各种优化挑战。

敏感性分析

执行敏感性分析，以了解问题参数的变化如何影响解决方案。这可以通过改变目标函数中的系数或调整约束边界来实现。

约束违反

检查拉格朗日乘子，以确定哪些约束是活跃的或被违反的。正的乘子表示活跃的约束，而负的乘子则表示违反的约束。

• 理解并有效利用 MATLAB 中的 quadprog 函数，为解决复杂的二次规划问题打开了广阔的可能性。
• 通过实际示例扩展您的知识，探索更多细节，并融入技巧和最佳实践，您可以自信地将 quadprog 应用于从金融到机器学习的各种场景。

当您掌握其功能时，MATLAB 的 quadprog 将成为您优化工具箱中不可或缺的工具，为无数现实世界的挑战提供稳健的解决方案。

示例

输出

说明

项目参数

required resources：代表每个项目所需资源的向量。

profitPerProject：代表每个项目产生的利润的向量。

预算和资源约束

budget constraint：最大可用预算。

resource constraint：最大可用总资源。

二次规划公式

Hessian 矩阵 H 的构建是为了最大化利润（相当于最小化负利润）。

线性项向量 f 设置为零。

等式约束 (Aeq 和 be) 基于资源需求定义。

使用二元决策变量 (lb 和 ub) 来指示项目选择（1 表示选中，0 表示未选中）。

解决资源分配问题

利用 quadprog 函数找到在遵守约束的情况下最大化总利润的最优解决方案。

显示结果

最优项目选择、最优总利润、退出标志以及与等式约束相关的拉格朗日乘子将被显示。

这个例子演示了如何将二次规划应用于解决资源分配问题，其中决策变量是二元的，并受线性等式约束。quadprog 函数有助于有效地优化此类问题，使其成为各种应用的通用工具。