奈奎斯特图

引言

奈奎斯特图是一种在信号处理和控制系统领域中用于评估系统性能和稳定性的图形工具。该图以瑞典裔美国工程师哈利·奈奎斯特（Harry Nyquist）的名字命名，通过绘制系统在不同频率下的复频响来表示。奈奎斯特图通常绘制的是系统传递函数的虚部相对于其实部，频率范围通常从负无穷到正无穷。通过这种可视化，工程师可以识别潜在的稳定性问题，并了解系统对不同频率的反应。

在控制理论的背景下，奈奎斯特图尤其有助于检查反馈系统的稳定性。通过应用奈奎斯特稳定性判据，工程师可以通过分析图线在复平面上对关键点（-1,0）的包围情况，来确定系统是稳定、临界稳定还是不稳定。这种方法是设计和分析控制系统的必备工具，因为它提供了一种无需直接求解复杂微分方程即可全面评估系统鲁棒性的方法。

语法

MATLAB 语法

在 MATLAB 中，使用 `nyquist` 函数可以生成奈奎斯特图。以下是语法示例：

下面是为给定传递函数生成并绘制奈奎斯特图的 MATLAB 代码片段，并附有详细的步骤分解：

1.定义传递函数的系数

• 在分子数组 `[1]` 中指定传递函数分子多项式的系数。
• 在分母数组 `[1 3 2]` 中指定传递函数分母多项式的系数。这对应于传递函数 $ \frac{1}{s^2 + 3s + 2} $。

2.创建传递函数模型

• 在 MATLAB 中，使用 `tf` 函数创建传递函数模型。

3.创建奈奎斯特图

• `nyquist` 函数会为给定的传递函数模型 `sys` 生成奈奎斯特图。该图通过显示系统在不同频率下的复频响，有助于分析系统的性能和稳定性。

奈奎斯特图包含什么？

奈奎斯特图是评估控制系统性能和稳定性的重要工具，因为它提供了系统频响的可视化表示。奈奎斯特图包含以下内容：

奈奎斯特图的组成部分：实轴与虚轴

x 轴代表系统频响的实部。

y 轴代表系统频响的虚部。

响应频率

该图显示了系统传递函数 $ H(j\omega) $ 的复数值随频率 $ \omega $ 的变化。

随着频率 $ \omega $ 从 $ -\infty $ 变化到 $ +\infty $，奈奎斯特图会在复平面上描绘出一条路径。

关键特征与解读

1. 对关键点（-1,0）的包围

奈奎斯特稳定性判据用于检查图线是否包围点 $ -1+0j $（关键点）以及如何包围。

如果图线包围点 $ -1+0j $，则表示可能存在稳定性问题。

2. 稳定性分析

开环稳定系统：如果系统是开环稳定的（开环传递函数的极点位于复平面的左半平面），那么奈奎斯特图对 $ -1+0j $ 的包围有助于确定闭环稳定性。

奈奎斯特稳定性判据： 根据该判据

计算图线顺时针包围 $ -1+0j $ 的次数 $ N $。

令 $ P $ 为开环传递函数在右半平面上的极点数量。

如果 $ N = P $，则系统稳定。

3. 增益裕度和相裕度

增益裕度： 增益裕度表示在系统变得不稳定之前，增益可以增加的幅度。它是奈奎斯特图与负实轴交叉时的增益的倒数。

相裕度： 相裕度表示在系统变得不稳定之前，相位可以改变的幅度。它是 $ -180^\circ $ 与奈奎斯特图与单位圆（幅度为 1）交叉处的相位之间的相位差。

4. 频响特性

奈奎斯特图的形状可以深入了解系统的频响。

图中的峰值和谷值分别对应于系统中的共振和反共振。

代码

输出