H-无穷控制

引言

H∞控制是控制工程中采用的一种现代技术，用于实现最优控制器，以控制动态系统，并对各种不确定性来源具有良好的鲁棒性。术语H∞对应于此控制技术中表示为H∞的数学代数值，并表示系统传递函数中将扰动与受控输出相关联的最坏情况特性的幅度。因此，H∞控制的目标是最小化这种最坏情况下的增益，以在面对不确定性时保持稳定性和最佳性能。

H∞控制的特性

• 鲁棒控制：可以看出，H∞控制在其基础上是一种鲁棒控制形式，专门用于在不同形式的不确定性下工作。这些不确定性可能由系统参数的变化、未建模的动态或进入系统的任何类型的扰动引起。H∞方法使得即使存在这些变化，系统性能也始终保持在所需容差范围内。
• 扰动抑制：开发H∞控制问题时最重要的目标之一是降低系统性能对外部干扰的敏感性。这是通过最小化闭环系统从扰动输入到输出的实际最坏情况增益来实现的，使用选定的H∞范数。干扰可能由环境噪声、传感器误差和外界波动引起，控制器的目的是最小化这些干扰对系统行为的影响。
• 性能优化：由于H∞控制通常强调鲁棒性问题，性能问题也同样重要。

数学基础

1. 控制理论中的范数

确实，控制理论利用范数来表示系统相对于扰动和不确定性的大小或性能。H∞范数是鲁棒控制的一个明确组成部分，因为它给出了系统在响应外部干扰时的最坏情况。

H∞范数可以定义为系统传递函数在任何频率下的最大奇异值，换句话说，就是系统在任何频率下通常会放大任何扰动的程度。在数学上，对于一个传递函数为G(s)的给定系统，H∞范数||G||∞表示为：

||G||_∞ = sup_{ωϵ[0, ∞]} σ_max(G(jω))

其中

• G(jω)是传递函数在虚轴上复平面中的值。
• σ_max(G(jω))是传递函数在虚频率ω=jω处的最大奇异值。

H∞范数的主要应用是不确定性和扰动，因为它用于分析系统的最坏情况。更实际地说，最小化H∞范数可确保即使在考虑临界条件时，系统的响应也是可接受的。

2. 频域分析

频域方法对于分析控制系统至关重要，特别是系统在正弦输入或扰动下的性能。频域分析在H∞控制中也起着关键作用，用于确定系统稳定性和模型所需的性能。

关于稳定性，有一些标准可以衡量闭环在所有频率下是否稳定；例如奈奎斯特准则和波特图。这些方法可以确保即使存在不确定性，系统的稳定性也不会因增益和相位裕度而降低。频域分析有助于H∞控制设计者操作环路传递函数，以保证适当的性能，同时增强鲁棒性。

3. 线性分式变换（LFT）

线性分式变换（Linear Fractional Transformation，简称LFT）被引入到主动控制系统的控制器综合和鲁棒性能分析中，是一种处理不确定系统时使用的强大数学工具。由于LFT，可以对不确定系统进行建模，并一方面区分系统的标称部分，另一方面区分其不确定性。

LFT的一般形式表示为：

T (P, K) = ( A + B∆(I-D∆)^-1 C)

其中

• A、B、C和D被称为系统矩阵。
• ∆表示对系统的某种变化或某种形式的扰动。

LFT适用于分析，因为它分解了标称系统，并将不确定性放入一个行为未知或变化的模块中。这种结构适用于鲁棒控制，我们试图设计出能够应对不可预测性，同时满足给定性能水平的控制器。考虑了通过LFT公式控制器可以有效处理的扰动和不确定性范围，并得出结论，它很好地满足了H∞控制的要求。

LFT是鲁棒控制设计过程中的一个灵活工具，因为它使得对具有结构化和非结构化不确定性的系统进行建模变得更加容易。它使得能够构建以最小化H∞范数为目标的优化问题，从而设计出保证鲁棒性和稳定性的控制器。

图1 用于升压转换器的H∞控制

H∞控制问题公式化

1. H∞控制的标准问题

H∞控制问题的目标是一个优化问题，旨在创建一个即使在存在外部扰动和系统不确定性的情况下也能可靠运行的控制器。

H∞控制的主要目标是最小化系统从扰动输入到其调节输出的最坏情况增益。这个问题在数学上用H∞范数表示，符号为‖Tzw‖∞，它量化了从输入（扰动）到系统输出（响应）的最大放大倍数。为了确保系统能够承受最严重的干扰，控制器被设计为最小化此增益。

当使用状态空间方程描述系统时：

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + B_d w(t)

z(t) = Cx(t) + Du(t)

其中

• x(t) 是系统状态向量，
• u(t) 是控制输入，
• w(t) 表示外部扰动，
• z(t) 是性能输出，
• A、B、B_d、C 和 D 是系统矩阵。

目标是创建一个控制器K(s)，使闭环系统中从w(t)到z(t)的传递函数Tzw(s)的H∞范数最小化。问题的数学表达式为：

min_K sup_w ‖z‖₂ / ‖w‖₂ < ɤ

其中，ɤ是系统从扰动到输出的增益的预定义上限，‖.‖₂表示2-范数（能量范数）。如果系统增益可以保持在ɤ以下，则控制器在最坏情况下的扰动场景中满足鲁棒性要求。

2. 性能与鲁棒性之间的权衡

H∞控制在鲁棒性和性能之间取得平衡的能力是其最重要的特性之一。

• 性能是系统在标称条件下抑制扰动和追踪期望路径的能力。
• 鲁棒性是系统在面对不可预见的干扰、参数变化和模型不确定性时仍能继续令人满意地运行的能力。

3. 扰动抑制

H∞控制抑制扰动的能力是一个关键特性。噪声、环境条件和未建模的动态等外部扰动会严重损害控制系统的效能。H∞控制的目的是最小化这些干扰对系统输出的影响。

实际上，H∞控制通过最小化扰动对系统的最坏情况影响来实现扰动抑制。这是通过设计控制器，使得在最坏情况下，从扰动w(t)到输出z(t)的闭环传递函数保持最小来实现的。

以下是传递函数Tzw(s)，它解释了干扰如何在系统中传播：

T_zw(s) = C(sI - A)^-1B_d + D

H∞控制的目标是创建一个控制器K(s)，通过最小化Tzw(s)的H∞范数来有效限制扰动的放大。通过保持从扰动输入到性能输出的低增益，系统对外部扰动变得更加鲁棒。这确保了扰动不会导致与预期性能的显著偏差。

图2 用于整形对象的H∞控制

H∞控制器的设计

1. 状态空间方法

状态空间方法是构建H∞控制器的一种常用技术，因为它可以处理多输入多输出（MIMO）系统。使用这种方法，系统的动态、输入、输出和扰动都由矩阵描述。线性时不变（LTI）系统的通用状态空间表示为：

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

在这种情况下，输入是u(t)，输出是y(t)，状态向量由x(t)表示。系统动态由矩阵A、B、C和D表征。

H∞控制的目标是创建一个反馈控制器，使从扰动输入到输出的闭环传递函数的H∞范数最小化。换句话说，即使系统模型存在不确定性，控制器也应在保持强稳定性和能力的同时，最小化扰动的影响。

为了最小化系统的H∞范数，在设计阶段将问题表述为优化任务。减小它可确保扰动对系统性能的影响微乎其微，因为它表示了从扰动到输出的最高能量放大。

2. 求解Riccati方程

代数Riccati方程（ARE）在H∞控制器的设计中起着至关重要的作用。该方程的解有助于确定保证可靠运行的理想反馈增益。H∞控制的ARE可以表示为：

A^T P + P A - P B R^-1 B^T P + Q = 0

A和B是来自状态空间表示的系统矩阵，未知矩阵P是必须求解的矩阵，而加权矩阵Q和R指定了状态调节与控制努力之间的权衡。

通过求解Riccati问题，使用反馈增益矩阵K来构建H∞控制器。选择此反馈增益以通过减少系统最坏情况下的干扰效应来确保鲁棒控制。

求解Riccati方程需要数值技术和大量计算。然而，像MATLAB这样的现代程序提供了内置函数（例如用于连续时间代数Riccati方程的`care`），简化了这一过程。

3. 环路整形技术

环路整形是创建H∞控制器的一种适当且简单的技术。其基本概念是“整形”系统的开环频率响应，以获得理想的闭环特性，如稳定的稳定性和性能。当希望手动调整控制器而不是求解复杂的数学公式时，此方法很有用。

• 该过程包括修改系统的频率响应以满足性能标准，通常通过在低频增加增益以增强扰动抑制。
• 通过在高频降低增益来减少对噪声和未建模动态的敏感性。

环路整形方法通过对系统应用预补偿器和后补偿器来修改开环传递函数。为了确保闭环系统满足性能要求，后补偿器在预补偿器塑造控制器输入后修改控制器的输出。

目标是获得一个在各种操作条件下都能提供可靠性能的频率响应。环路整形是创建H∞控制器的一种通用技术，当设计基于带宽、相位裕度和增益裕度等实际因素时，它尤其有用。