计算机科学测验 - II: 第 2 部分

答案： (b) A * A = A 且 A * B = B * A

说明

幂等律表示对相同的操作数进行操作，结果为操作数本身。例如：a + a = a 且 b . b = b

如果 A * B = B * A，则称其为交换律。

答案： (c) 异或门同时满足交换律和结合律，但不满足幂等律

说明

异或门不满足幂等律

a ⊕ a != a，而是 a ⊕ a = 0

异或门满足交换律

a ⊕ b = b ⊕ a

左侧 = a ⊕ b

= a' b + a b'

= b' a + a' b = b ⊕ a

(我们知道 OR (+) 运算是可交换的，即 a + b = b + a)。

证毕。

异或门满足结合律

a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ c

左侧 = a ⊕ ( b ⊕ c )

= a ⊕ ( b' c + b c')

= a' ( b' c + b . c') + a ( b' c + b c' )'

= a' b' c + a' b c' + a ( b' c' + b c ) (异或的补是同或)

= a' b' c + a' b c' + a b' c' + a b c

右侧 = (a ⊕ b) ⊕ c

= ( a' b + a b' ) ⊕ c

= ( a' b + a b' )' c + ( a' b + a b' ) c'

= ( a' b' + a b ) c + a' b c' + a b' c' (异或的补是同或)

= a' b' c + a b c + a' b c' + a b' c'

= a' b' c + a' b c' + a b' c' + a b c

= 左侧

证毕。

因此，(c) 是正确答案。

答案： (c) 异或非门同时满足交换律和结合律，但不满足幂等律

说明

异或非门不满足幂等律

a ⊙ a != a，而是 a ⊙ a = 1

异或非门满足交换律

a ⊙ b = b ⊙ a

左侧 = a ⊙ b

= a' b' + a b

= b' a' + b a = b ⊙ a

(我们知道 AND (.) 运算是可交换的，即 a . b = b . a)。

证毕。

异或门满足结合律

a ⊙ ( b ⊙ c ) = ( a ⊙ b ) ⊙ c

左侧 = a ⊙ ( b ⊙ c )

= a ⊙ ( b' c' + b c)

= a' ( b' c' + b . c)' + a ( b' c' + b c )

= a' ( b'c + b c') + a (b' c' + b c) (异或非的补是异或)

= a' b' c + a' b c' + a b' c' + a b c

右侧 = ( a ⊙ b ) ⊙ c

= ( a' b' + a b ) ⊙ c

= ( a' b' + a b )' c' + ( a' b' + a b ) c

= ( a' b + a b' ) c' + ( a' b' + a b ) c (异或非的补是异或)

= a' b c' + a b' c' + a' b' c + a b c

= a' b' c + a' b c' + a b' c' + a b c

= 左侧

证毕。

因此，(c) 是正确答案。

答案： (b) 2 ^ 2ⁿ

解释： 对于 n 个二进制变量，可能有 2ⁿ 种组合。此外，由于布尔函数只有两个可能的值 0 或 1，因此可能的函数总数将为 2^(2ⁿ)。

答案： (c) 2⁶⁴

说明

使用公式

布尔函数数量 = 2 ^ 2ⁿ

= 2 ^ 2⁶

= 2 ^ 64

因此，(c) 是正确答案。

答案： (b) 布尔表达式的对偶是通过交换布尔积与布尔和，并交换 1 和 0 产生的

说明

如果我们以函数 f (a, b, c, d, ......, z, 0, 1, +, .) 为例，它的对偶定义为 fd (a, b, c, ......, z, 0, 1, ., +)。当变量的性质不变，但 0 变成 1，1 变成 0，或 + 变成 .，. 变成 + 时，我们称之为对偶函数。

当我们取一个函数的对偶时，它的功能被保留，但正逻辑系统变为负逻辑系统，因为一个函数独立于大小，如果它在正逻辑系统中正确工作，它也必须在负逻辑系统中正确工作。

答案： (c) x . ( y + z )

解释： 当变量的性质不变，但 0 变成 1，1 变成 0，或 + 变成 .，. 变成 + 时，我们称之为对偶函数。

答案： (d) 2^2^n-1

解释： 对于自对偶函数，没有互斥项。因此，我们可以从每对互斥项中只选择一个最小项

对于 n 变量函数，总共有 2ⁿ 个最小项，产生 2^n-1 对互斥最小项。由于每对互斥最小项中有两个选项，因此总共可能有 2^(2^n-1) 个自对偶函数。

答案： (c) a + a . b = a

说明

左侧 = a + a . b

= a . ( 1 + b )

= a . 1 = a

证毕。

答案： (a) a + a' . b = a + b

解释： 以上公式可以使用卡诺图推导。

这里，a 代表最小项 2 和 3，a' b 代表最小项 1。

因此，我们得到了两组最小项。

为了表示最小项 2 和 3，我们有 a；为了表示最小项 1 和 3，我们有 b。

最小化方程为 a + b = 右侧。证毕。

答案： (a) x' z + x z'

说明

使用卡诺图，我们有

此处图片

有两组最小项

? ( 4, 6, 12, 14) 可以用 x z' 表示，

? ( 1, 3, 9, 11) 可以用 x' z 表示。

最小化函数是 x z' + x' z。

因此，(a) 是正确答案。

答案： (d) 或非门

解释： 与非门和或非门是通用门。我们可以使用这些通用门中的任何一个来实现任何布尔函数。

答案： (a) 与 - 或

说明

这是一种两级实现。在第一级，我们使用与门来找到布尔方程的乘积项；在第二级，我们使用或门来求和这些乘积项。最终，我们得到 SOP（乘积之和）形式的方程。

此处图片

答案： (c) 4

解释： 电路如下图所示

此处图片

答案： (a) 半加器是异或门和与门电路

说明

半加器是组合电路，执行两个一位二进制值的算术加法。因此，半加器中添加两个单个二进制位 A 和 B，并产生两个输出：和 (S) 和进位 (c)。

它使用异或门和与门实现。异或门确定和，与门确定进位，如下图所示

此处图片

答案： (d) 仅 I、III、IV

说明

半加器 - 半加器是执行两个一位二进制值的算术加法的组合电路。因此，半加器中添加两个单个二进制位 A 和 B，并产生两个输出：和 (S) 和进位 (c)。

全加器 - 全加器是执行三个输入位算术加法的组合逻辑电路。

和 = A_n + B_n + C_n-1

其中 C_n-1 是通过相加 (n-1)^th 阶位产生的进位，A_n, B_n 分别是数字 A 和 B 的 nth 阶位。

反相器 - 反相器，通常称为非门，是数字逻辑中用于实现逻辑非的逻辑门。当输入一个位时，它输出完全相反的位。通常，这些位被实现为两个相反的电压电平。

因此，选项 I、III 和 IV 是正确的，II 是错误的。因此，(d) 是正确答案。

答案： (b) S = 0, C_o = 1 和 S = 1, C_o = 0

说明

对于全加器

和 = A ⊕ B ⊕ C，且

进位 = A . B + B . C + A . C

I. x = 0, y = 1 和 C_i = 1

和 = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0

进位 = 0 . 1 + 1 . 1 + 0 . 1 = 0 + 1 + 0 = 1

II. x = 1, y = 0, 和 Ci = 0

和 = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

进位 = 1 . 0 + 0 . 0 + 1 . 0 = 0 + 0 + 0 = 0

因此，(b) 是正确答案。

答案： (c) 接受多个输入并只产生一个输出的逻辑电路是多路复用器。

说明

多路复用器是一种独特而流行的组合电路。主要标准是我们必须从大量输入中选择一个输入，例如电话呼叫或火车离开车站。

使用称为多路复用器的组合电路，从一条或多条输入线中选择二进制数据并发送到一条输出线。一组选择线控制特定输入线的选择。

有 n 条选择线和 2n 条输入线，选择线上的位组合决定选择哪个输入。由于它选择多个输入中的一个并将二进制数据定向到输出线，因此多路复用器也称为数据选择器。

此处图片

因此，(c) 是正确答案。

答案： (c) 和 (d) 两个选项都正确

说明

此处图片

真值表

当 R 和 S 都设置为 0 时，我们将得到 Q 和 Q' 都为 1。这个输出将永远持续下去，不取决于输入，也不取决于事件发生的顺序。输出导致不确定状态。

但是，如果在此状态之后将 R = S = 1 设置，电路将像一个缓冲器一样工作，并且 Q 将保持 Q。(要么 Q = 0，Q' = 1，要么 Q = 1，Q' = 0)。

因此，正确答案是 (c) 和 (d)。

答案： (d) 0, 8, 12, 14, 15, 7, 3, 1, 0

解释： 四位 Johnson 计数器将最后一个移位寄存器的输出的补码连接到第一个移位寄存器的输入，移位距离设置为 1，这意味着一位将循环。

它将这样操作

0000 = 0 (对最后一个 0 取补并将其馈入第一个寄存器)

1000 = 8

1100 = 12

1110 = 14

1111 = 15 (对最后一个 1 取补并将其馈入第一个寄存器)

0111 = 7

0011 = 3

0001 = 1

0000 = 0

因此 (d) 是正确答案。