最小公倍数

17 Mar 2025 | 6 分钟阅读

在算术中，两个或多个数字的**最小公倍数 (LCM)** 是能被这两个数字整除且没有余数的最小正数。它也称为**最小公倍数 (LCM)、最小公分母**和**最小公倍数**。它表示为 **LCM (a, b)** 或 **lcm (a, b)**，其中 a 和 b 是两个整数。

当我们需要对分数进行加、减或比较时，会用到它。当进行分数的加法或减法时，我们首先找出分母的 LCM，然后解分数。分母的 LCM 称为**最小公分母 (LCD)**。

LCM 的性质

结合律： LCM (a, b) = LCM (b, a)
交换律： LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c) = LCM (a, LCM (b, c))
分配律： LCM (ka, kb, kc) = kLCM (a, b, c)
LCM 与 GCF 相关

$Least Common Multiple$

如何找到 LCM

有三种方法可以找到 LCM，如下所示：

使用表格法
使用最大公约数 (GCD) 法
使用质因数分解法
使用倍数法

使用表格法

这是一种简单的方法，适用于任意数量的数字。按照以下步骤找到 LCM。

将所有给定的数字水平列在表格中，用逗号分隔。
如果数字可以完全被 2 整除，则开始用 2 除以数字。将 2 写在左列顶部，并将结果水平写出。重复此过程，直到得到质数作为结果。
当任何数字不能被 2 整除时，选择下一个最大的质数，并开始用该数字除以数字。将该数字写在 2 下面，并将结果水平写出。重复此步骤，直到最后一行得到 1。
要获得 LCM，请将左侧列中写出的所有数字相乘。

让我们通过示例来理解。

例 1：求 8 和 10 的 LCM。

解决方案

$Least Common Multiple$

因此，8 和 10 的 LCM 是 40。

例 2：求 60 和 282 的 LCM。

解决方案

$Least Common Multiple$

因此，60 和 282 的 LCM 是 2820。

例 3：20、28 和 35 的 LCM 是多少？

解决方案

$Least Common Multiple$

因此，20、28 和 35 的 LCM 是 140。

例 4：求 120、144、160 和 180 的 LCM。

解决方案

$Least Common Multiple$

因此，120、144、160 和 180 的 LCM 是 1440。

例 5：求 64、72、96 和 108 的 LCM。

解决方案

$Least Common Multiple$

因此，64、72、96 和 108 的 LCM 是 1728。

使用最大公约数 (GCD) 法

我们还可以使用 GCD 计算 LCM。使用 GCD 的 LCM 公式是

$Least Common Multiple$

最大公约数： 它是能完全整除两个或多个数字的最高数字。它缩写为 **GCD**。它也称为**最大公因数** (GCF) 或**最高公因数** (HCF)。

如何找到 GCD

按照以下步骤找到 GCD

写出每个数字的所有因子。
选择公因子。
选择最大的数字作为 GCD。

让我们通过示例来理解。

例 6：求 8 和 10 的 LCM。

解决方案

根据我们上面学到的公式

$Least Common Multiple$

首先，我们找出 8 和 10 的 GCD。

8 的因子：1、2、4、8

10 的因数：1、2、5、10

公因子：1、2

最大公约数：2

$Least Common Multiple$

因此，8 和 10 的 LCM 是 40。

例 7：求 11 和 42 的 LCM。

解决方案

根据我们上面学到的公式

$Least Common Multiple$

首先，我们找出 11 和 42 的 GCD。

11 的因数：1、11

42 的因数：1、2、3、6、7、14、21、42

公因数：1

最大公约数：1

$Least Common Multiple$

LCM(11,42)=462

因此，11 和 42 的 LCM 是 462。

例 8：求 64 和 112 的 LCM。

解决方案

根据我们上面学到的公式

$Least Common Multiple$

首先，我们找出 64 和 112 的 GCD。

64 的因数：1、2、4、8、16、32、64

112 的因数：1、2、4、7、8、14、16、28、56、112

公因数：1、2、4、7、8、16

最大公约数：16

$Least Common Multiple$

因此，64 和 112 的 LCM 是 448。

使用质因数分解法

按照以下步骤使用质因数分解法找到 LCM。

写出给定数字的所有质因数。
选择所有质数。它们在任何给定数字中出现次数最多。
将所有质数相乘即可得到 LCM。

注意：当我们以形式写出因数时，称为指数形式，该过程称为使用指数的因数分解。

让我们通过例子来理解。

例 9：求 17 和 28 的 LCM。

解决方案

17 的质因数：17
28 的质因数：2×2×7
LCM(17,28)=2×2×7×17
LCM (17,28)=476

指数形式

17 的质因数：17¹
28 的质因数：2²×7¹
LCM(17,28)=2²×7¹×17¹
LCM (17,28)=476

因此，17 和 28 的 LCM 是 476。

例 10：35 和 78 的 LCM 是多少？

解决方案

35 的质因数：5×7
78 的质因数：2×3×13
LCM (35,78)=2×3×5×7×13
LCM (35,78)=2730

指数形式

35 的质因数：5¹×7¹
78 的质因数：2¹×3¹×13¹
LCM(35,78)=2¹×3¹×5¹×7¹×13¹
LCM (35,78)=2730

因此，35 和 78 的 LCM 是 2730。

例 11：求 223 和 432 的 LCM。

解决方案

223 的质因数：223
432 的质因数：2 × 2 ×2 × 2 × 3 × 3 × 3
LCM (223,432)=2 × 2 ×2 × 2 × 3 × 3 × 3×223
LCM (223,432)=96336

指数形式

223 的质因数：223¹
432 的质因数：2⁴×3³
LCM (223,432)=2⁴×3³×223¹
LCM (223,432)=96336

因此，223 和 432 的 LCM 是 96336。

例 12：求 12、23 和 29 的 LCM。

解决方案

12 的质因数：2 × 2 × 3
23 的质因数：23
29 的质因数：29
LCM (12,23,29)=2 × 2 × 3 ×23 × 29
LCM (12,23,29)=8004

指数形式

12 的质因数：2²×3¹
23 的质因数：23¹
29 的质因数：29¹
LCM (12,23,29)=2²×3¹×23¹×29¹
LCM (12,23,29)=8004

因此，12、23 和 29 的 LCM 是 8004。

使用倍数法

这是一个很冗长的方法，所以通常不使用。按照以下步骤使用数字的倍数找到 LCM：

列出每个数字的所有倍数，直到找到第一个公倍数。
选择所有给定数字中的最小公倍数。

让我们通过示例来理解。

例 13：12、9 和 33 的 LCM 是多少？

解决方案

9 的倍数： 9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144、153、162、171、180、189、198、207、216、225、234、243、252、261、270、279、288、297、306、315、324、333、342、351、360、369、378、387、396、405、414

12 的倍数： 12、24、36、48、60、72、84、96、108、120、132、144、156、168、180、192、204、216、228、240、252、264、276、288、300、312、324、336、348、360、372、384、396、408、420

33 的倍数： 33、66、99、132、165、198、231、264、297、330、363、396、429、462

因此，9、12 和 33 的 LCM 是 396。

例 14：15 和 16 的 LCM 是多少？

解决方案

15 的倍数： 15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180、195、210、225、240、255、270

16 的倍数： 16、32、48、64、80、96、112、128、144、160、176、192、208、224、240、256、272

LCM (15,16)=240

因此，15 和 16 的 LCM 是 240。