整数定义

“integer”一词源自拉丁语，用于表达“完整”或“完好无损”。因此，分数和小数不被视为整数。在数学中，整数在各种方面都扮演着至关重要的角色。让我们阅读本文，以了解更多关于整数、它们的定义及其特征的信息。

什么是整数？

如果一个数值或数字是整数，无论是正数还是负数，它就被称为整数。因此，整数的三种类型是正整数、负整数和零。相应地，如果我们将多个正整数和/或负整数结合起来，不包含分数和小数，就形成了一个整数集。

这组可以不带分数部分表示的计数数字也包括零。因此，如前所述，整数可以是正数、负数或零。

所有自然数构成了以1为基础、范围无限的整数。所有整数从0开始，向两边（正向和负向）无限延伸。

整数可以表示如下

…… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3……

整数可以包含正数和负数，包括零，表示没有小数或分数部分的数字。以下是一些随机的整数示例：-4, 0, 1, 3, 7, 99 和 4960。

整数的分类

整数主要分为以下三类

• 正整数：如果一个数大于零，它就是正数。任何不带分数或小数的特定正数都称为正整数。

示例：Z = (1, 2, 3) 等。

• 负整数：如果一个数小于零，它就被认为是负数。任何不带分数或小数的特定负数都称为负整数。

示例：Z = (-1, -2, -3) 等。

• 零整数：零被定义为既不是负数也不是正数。它是一个完整的数，称为零整数。

示例：Z = (0)

在以上所有示例中，Z 是一个由相应整数组成的整数集。

数轴上的整数

数轴是数字直线的可视化表示。这条线用于比较在水平方向上向两侧无限延伸的直线上等距分布的整数。整数集合可以像其他数字一样在数轴上表示。

在数轴上绘制整数

数轴可以用来直观地表示正数和负数。数轴上的整数有助于进行数学运算。在数轴上排列数字时，重要的是要记住以下几点

• 右侧的数字总是大于左侧的数字。
• 正数大于0，因此位于零的右侧。
• 负数小于0，因此位于零的左侧。
• 通常将零放在中间，它既不是正数也不是负数。

在下图中，整数 -6、-2 和 3 在数轴上用粉红色的圆圈（点）标出

整数运算

整数可以用于以下四种基本算术运算

1. 整数的加法
2. 整数的减法
3. 整数的乘法
4. 整数的除法

让我们详细了解每一种

整数的加法

计算两个或多个整数之间的和是它们的加法过程，根据它们是正数还是负数，其值可能会增加或减少。

下一节列出了整数加法的各种准则和可能情况。

整数加法指南

在进行两个整数相加时，我们采用以下原则

• 当两个整数符号相同时，将它们的绝对值相加，结果的符号与给定的整数符号相同。
• 当一个正整数和一个负整数相加时，先确定这两个整数绝对值的差，然后将结果赋予这两个数中较大数的符号。

示例

5 + 8 = 13

-5 + (-8) = -13

如果任何一个整数的方向不同，导致减法运算，则输出将带有较大整数的符号。让我们用例子来澄清

(-10) + (2) = -10 + 2 = -8

(-2) + (10) = -2 + 10 = 8

这就是整数加法的工作原理。

整数的减法

确定两个或多个整数之间的差，并考虑到结果可能是正数或负数的可能性，整数减法涉及找到整数之间的差值。

下一节将回顾整数减法的各种准则和可能情况。

减法中的整数规则

减去两个整数时使用以下准则

• 将被减的第二个数字的符号改变，然后遵循与加法相同的规则或操作。利用相同的整数加法规则解决上一阶段讨论的问题。

示例

7 - 10 = -3

现在，让我们讨论这个计算的操作过程。首先，改变减数的符号，产生以下结果（通过将给定的语句转换为看起来像加法问题）：

7 + (-10)

此操作的准则现在将与两个数相加的准则相同。在这种情况下，7 和 (-10) 的绝对值分别为 7 和 10。

它们的差是 10 - 7（大数 - 小数），等于 3。由于在这种情况下 '十' 是较大的数，因此输出（结果）带有其原始符号，即 "-"，而不是七的符号。因此，结果用 "-" 表示。

因此，7 - 10 = -3

整数的乘法

下表中列出的规则用于整数（或整数）的乘法。下一节列出了整数乘法的多种方法及其可能的使用场景。在这里，我们可以确定当乘以两个相同或不同符号的整数时，我们应该在输出值上使用哪个符号。

示例

现在，观察下面的乘法，我们有整数 4 和 2。虽然结果在数字上看起来相同，但由于它们的结果符号是正或负，所以它们是不同的。

4 x 2 = 8

4 x (-2) = -8

(-4) x 2 = -8

(-4) x 2 = 8

整数的除法

当一个整数被除时，它要么被平均分成若干组，要么被分成预定数量的组。我们在除法整数时遵循下表中列出的准则。下一节确定当除以两个相同或不同符号的整数时，我们应该在输出值上使用哪个符号。

示例

现在，观察下面的除法，我们有整数 10 和 2。与整数乘法一样，整数除法的结果在数字上看起来也相同，但由于它们的结果符号是正或负，所以它们是不同的。

10 ÷ 2 = 5

10 ÷ 2 = -5

(10) ÷ 2 = -5

(-10) ÷ (-2) = 5

整数的性质

下面列出了整数的主要特征

封闭性

根据集合的封闭性，对于任何给定的运算，它都可以在数学上是封闭的。在整数加法、减法、乘法和除法下，Z 是封闭的，这意味着输出（结果）也将是一个整数。给定任意两个整数 a 和 b，封闭性规定：

• a + b ∈ Z
• a - b ∈ Z
• a × b ∈ Z
• a/b ∈ Z

其中 Z 代表整数集。

例如，

2 + 8 = 10（这是一个整数）

2 x 8 = 16（这是一个整数）

结合律

结合律指出，改变两个整数的分组方式不会改变运算的结果。两个整数可以利用结合律进行相加和相乘。

假设 a 和 b 是任意两个整数，则结合律规定

• a + (b + c) = (a + b) + c
• a × (b × c) = (a × b) × c

例如，

2 + (4 + 4) = (2 + 4) + 4 = 10

2 x (3 × 4) = (2 × 3) x 4 = 24

需要注意的是，结合律不适用于整数的减法和除法。

交换律

交换律指出，运算的结果不受其操作数使用顺序的影响。整数的加法和乘法遵循交换律。

假设 a 和 b 是任意两个整数，那么交换律规定：

• a + b = b + a
• a × b = b × a

与结合律类似，交换律也不适用于整数的减法和除法。

例如，

2 + 8 = 8 + 2 = 10

2 x 8 = 8 x 2 = 16

分配律

根据分配律，任何形式为 a (b + c) 的表达式，表示形式 "x (b + c)"，允许操作数 a 在操作数 b 和 c 之间分配如下：

(a × b) + (a × c),

因此，

• a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

例如，

让我们证明：4 x (4 + 1) = 4 x 4 + 4 x 1

左边 = 4 x (4 + 1) = 4 x 5 = 20

右边 = 4 x 4 + 4 x 1 = 16 + 4 = 20

因为左边（为20）= 右边（也为20）。因此，分配律被证明是正确的。

加法逆元性质

根据加法逆元性质，当将一个特定的整数与其正值和负值相加时，唯一的结果是零（0）。

无论整数 a 是什么，加法逆元性质都表明

• a + (-a) = 0

这样，-a 被称为整数 a 的加法逆元。

乘法逆元性质

根据乘法逆元性质，当一个整数乘以它的倒数时，结果总是一（1）。

无论整数 a 是什么，乘法逆元性质都规定：

• Z = a x (1/a) = 1

这样，1/a 是整数 a 的乘法逆元。

恒等性质

在执行加法和乘法运算时，整数遵循单位元性质。

根据加法单位元性质，当一个整数加上零时，它就等于该整数本身。因此，这说明了

• a + 0 = a

类似地，根据乘法单位元性质，任何整数乘以一都得到该整数。因此，这说明了

• a × 1 = a

比较整数

整数可以像正整数一样进行比较。我们可以利用数轴快速比较整数。随着数字向右移动，其值增加。

数轴表示如下：

……-8,-7,-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,……

例如，现在让我们比较整数-8和-2。人们会争辩说整数-8比-2大，但这是不正确的。正如已经说过的，当你向右转时，值会增加。所以，对于较小的负数，值不会减少，而是增加。如果我们在数轴上检查整数，我们可以很容易地注意到整数-2在-8的右侧。因此，-2大于-8，或者-2 > -8。

同样，在另一个例子中，让我们考虑整数 -8 和 3。虽然乍一看整数 -8 可能比 3 大，但事实并非如此。一个普遍的规则是，负值永远不会大于正值。此外，可以看到整数 3 位于整数 -8 的右侧。这表明 3 大于 -8，或 3 > -8。