多项式定义

在数学中，‘多项式’是由不定元（也称为变量）和系数组成的表达式。它涉及到减法、加法、乘法以及变量的正整数次幂的运算。单变量x的一个多项式的好例子是x² - 5+7。三个不定元的一个好例子是x³ + 3xyz² + yz+1。

多项式广泛应用于许多科学和数学领域。例如，它们用于创建表示各种问题的多项式方程，从简单的文字问题到复杂的科学问题；它们用于定义多项式方程，这些方程在各种环境中都有使用，从物理和化学科学到社会学和经济学，并用于数值分析和微积分中近似函数。在更高级的数学中，它们用于构建多项式环和代数簇，这是代数和代数几何的基本概念。

词源

“多项式”一词结合了两个不同的词根：希腊语中的“poly”，意思是“许多”，以及拉丁语中的“nomen”，也称为“名称”。它源自二项式（binomial）一词，用“poly”替换了其拉丁语词根“bi”。它是许多单项式（monomials）的总和。 “多项式”一词最早在大约17世纪被使用。

术语和符号的使用

多项式中出现的x可以称为变量，也称为不定元。如果多项式被看作是一个表达式，那么x就是一个没有值的固定符号（它的值是“不定”的）。但是，如果考察多项式所描述的函数，那么x就是函数的自变量，这就是为什么它被称为“变量”的原因。许多作者用这两个术语来指代同一个事物。

一个以x为不定元的 P 多项式通常表示为 P 或 P(x)。非正式地说，多项式的名称是 P 而不是 P(x)。然而，函数符号 P(x) 的使用是由于当时区分多项式和相关的函数并不明确的时代。此外，在单句话中描述多项式及其不定元可能很有用。例如，“设 P(x) 为一个多项式”是“设 P 为一个以 x 为不定元的多项式”的简写形式。但是，在不需要强调不定元名称的情况下，有些公式在不包含不定元名称的情况下会更简单、更易读。

使用两种不同符号来描述同一个数学对象的混淆，可以通过非正式地查看多项式函数符号的广泛含义来解决。如果 a 代表一个数或变量，则根据约定，多项式或更广泛的任何表达式 P(a) 是将 P 中的 x 替换为 a 的结果。这就是多项式 P 定义函数的原因——

这就是与 P 相关的多项式函数。在大多数情况下，使用这种方法时，人们假设它是整数。但是，它也可以用于任何定义了乘法和加法的域（即任何环）。特别是，如果 a 是一个多项式，那么 P(a) 也将是一个多项式。

如果 A 是不定元 x，则该函数的结果将 x 视为多项式 P 本身（用 x 替换 x 没有区别）。也就是说，这在形式上证明了同一个多项式存在两种不同的符号。

多项式的类型

让我们来熟悉各种形式的多项式。这将是我们进一步学习的基础。

1. 单项式 - 单项式是包含一个项的代数表达式，因此它们被称为“Mono”邮件。此外，它是一个包含任意数量相似项的表达式。例如，2x+5x+10x 是一个单项式，因为当我们合并相似项时，我们得到 17x。
2. 二项式 - 二项式是包含两个不同项的代数表达式，因此得名“Bi” nominal。例如，3x + 4x² 可以称为二项式，因为它包含两个不相关的项。同样 10pq + 13p2q 也是一个二项式。
3. 三项式 - 三项式是包含三个不同项的代数表达式，因此得名“Tri” nominal。例如，3x + 5x² + 6x³ 是一个三项式。这是因为存在三个不相关的项，即 3x、5x² 和 6x³。

还有另一种多项式，称为“零”多项式。在这种类型中，所有系数的总和等于零。例如，0x² + 0x - 0。

多项式的次数

它是数学表达式中多项项的最大幂或指数。

示例：求 7x + 5 的次数。

在上面的例子中，第一项是 7x，第二项是 5。让我们确定每一项的指数。第一项 7x 的指数是 1，第二项 5 的指数是零。因为 7x 的最高指数值是 1，所以 7x + 5 的次数也是 1。