实数定义及示例

数字的历史

你不好奇“早期人类是如何清点物品的”吗？我们都知道或读到过，早期人类通过使用石头、木炭和骨头在洞穴墙壁上刻画图案来讲述他们的故事，其中一些甚至显示出类似于罗马计数系统的模式，以记录他们的物品。然后，在早期文明（希腊、埃及、雅利安等）中，他们尝试用不同的方式书写；他们试图以实物的形式表示“数字”——在古埃及计数系统中，“卷绳”代表100，“睡莲”代表1000，因此他们使用符号来表示数字。然后我们开始使用进位制来书写数字。到7世纪末，印度数学发展出十进制（0到9）；通过使用这个系统，我们可以仅使用“十个独特的符号”来表示任何实数。随着时间的推移，阿拉伯商人、学者和征服者开始在欧洲使用这种十进制系统。我们今天使用这些数字来表示字数，进行数学运算和所有计算。

为什么要使用数字？

我们从小就听着数字长大。每当我们想到表示某个事物的数量时，我们都用“数字”来表达。我们想到数钱；我们用数字来表示，比如“10,000美元”。数字在数学中非常重要，因为数学中的一切都用数字和字母来表示。“所以我们可以说，数字被用来表示某物的数量，任何物体（例如——页面、汽车、星星等）。”

数字的类型

数字有两种类型

1. 实数
2. 虚数或复数

1. 实数： 存在于现实世界中并且无需使用“i-iota”即可表示的数字。准确地说，我们可以说实数是有理数和无理数的集合（我们将在下面的解释中获得更多详细信息）。

例如：1，π，-2，1.2345.....，2/3，0 等。

2. 复数和虚数： 用“i-iota”表示的数字。特别是，“复数”是所有实数、有理数和无理数与一个虚数单位 (i) 的集合。

例如：1+i, -2-i, 2/3+2i/3 等。

这里我们讨论的是“实数”

实数： 实数也可以定义为自然数、整数、有理数和无理数的集合，实数可以是正数也可以是负数；实数集用“R”表示。正实数集用“R⁺”表示。负实数集用“R^-”表示。

例如： 考虑2，我们可以写成“2是一个实数 = 2 属于 R”。

如上所述，实数是不同子集的集合。如下图所示

让我们谈谈自然数、整数、有理数和无理数。

自然数： 从1开始并持续到无穷大的数字集合称为自然数；所有数字都是正数。自然数集合用“N”表示。

N = {1, 2, 3 ... 无穷大}

整数： 包含“0”的自然数集合称为整数；所有数字都是正数。整数集合用“W”表示。

W = {0, 1, 2, 3... 无穷大}

整数： 从负无穷大到负一的数字集合，以及整数都称为整数。这个集合用“Z”表示。正整数集用“Z⁺”表示，负整数集用“Z^-”表示。

Z = {- 无穷大... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... 无穷大}

Z+ = {1, 2, 3... 无穷大}

Z- = {- 无穷大... -3, -2, -1}

注意：零既不包含在Z⁺中，也不包含在Z^-中，因为零（0）既不是正数也不是负数。

有理数： 可以表示为x和y分数形式的数字集合，其中“x”和“y”是整数且y不等于零，称为有理数；其中“x”在此分数中称为“分子”，“y”称为“分母”。有理数也称为有限小数，因为当“分子”被“分母”完全整除，在小数点后完成。它们也可以是正数和负数。

Q = {x/y: x, y 属于 Z 且 y 不等于 0}

例如：让我们考虑这些数字 1/5, 2, -5/4, 0, 4.25 等。

无理数： 不能表示为x和y分数形式的非有理数集合称为无理数。特别地，当“分子”被“分母”除后，即使小数点后有很多数字，结果也不是有限小数；它们本质上也是不重复的。无理数集合用“P”表示，它们也可以是正数和负数。

例如：考虑，根号(2) = 1.414...

π=3.14......

正如我们在上面的例子中看到的，这些值不能表示为x和y的分数。所以它们是无理数。

让我们考虑一个例子：0.66666.....

正如我们所看到的，0.6666 ...... = 1/3

它是无限循环的。

但是它可以表示为“1”和“3”的分数，所以它是一个有理数。

实数在数轴上的表示

实数可以在“实数轴”上表示。实数轴用于确定“数字”在平面或一维空间中的位置；数轴上的每个点都代表一个唯一的实数。

步骤1.） 画一条水平直线，两端带有箭头“表示相反方向”，在直线中间，将数字0标记为“O”，“O”被称为原点。

步骤2.） 在数轴上，原点两侧以特定距离标记数字。确保标记数字之间的距离相等。

步骤3.） 通过在数轴上画一个点来表示数字。

例如：-3.6, -π/3, e, π 等

基于可除性和倍数的实数类型

1. 质数
2. 偶数
3. 奇数
4. 合数

1. 质数： 当一个数只能被1和它本身整除时，这个数称为质数。

例如：2, 3, 5...

2. 偶数： 当一个数能被2整除时，这个数称为偶数。

例如：2, 4, 6...

3. 奇数： 当一个数不能被2整除时，这个数称为奇数。

例如：3, 5, 7, 9...

4. 合数： 当一个数可以写成多个不同数的乘积，或者我们可以说它们是质数的对立面时，这个数称为合数。

例如：8 = 2×4, 2×2×2, 1×8

14 = 2×7, 1×14

实数的性质

实数主要有三个性质，但我们将讨论实数的所有性质。

主要三个性质

1. 交换性
2. 结合性
3. 分配律

其他性质

1. 闭包
2. 存在单位元
3. 存在逆元
4. 传递性
5. 密度
6. 顺序

让我们逐一讨论所有性质；

交换律： 当我们以不同顺序添加和乘以两个实数，并且两种方式的结果相同，则它们是可交换的。

例如：设 x 和 y 属于 R

那么根据交换律的性质

x + y = y + x 且 x × y = y × x

结合律： 当我们以不同顺序和括号添加和乘以三个实数，并且所有方式的结果都相同，则它们是结合的。

例如：设 x、y 和 z 属于 R

那么根据结合律的性质

(x + y) + z = x + (y + z) 且

(x × y) × z = x × (y × z)

分配律： 当我们先乘以两个数再相加，等于先相加再乘以它们，我们得到相同的结果；这叫做分配律。

例如：设 x、y 和 z 属于 R

那么根据分配律的性质

x × (y + z) = x × y + x × z

(x + y) × z = x × z + y × z

封闭性： 当我们对任意两个实数进行加、乘、减、除运算时，结果也将是一个实数；这个性质称为封闭性。

例如：2 + 3 = 5，2 和 3 属于 R，5 也属于 R

单位元的存在： 单位元有两种类型

1. 加法单位元
2. 乘法单位元

a.) 加法单位元：一个实数被称为加法单位元；当它与另一个数相加时，结果仍然是那个数，'0'被称为加法单位元。

例如：a + 0 = a，a 和 0 属于 R

b.) 乘法单位元：一个实数被称为乘法单位元；当它与另一个数相乘时，结果仍然是那个数，'1'被称为乘法单位元。

逆元素的存在： 逆元素有两种类型

1. 加法逆元
2. 乘法逆元

a.) 加法逆元：对于每个实数，都存在一个唯一的数；当它与该数相加时得到加法单位元 (0)；这个数称为加法逆元。

例如：a + (-a) = 0，a 和 (-a) 属于 R

这里，(-a) 称为加法逆元

b.) 乘法逆元：对于每个实数，都存在一个唯一的数；当它与该数相乘时得到乘法单位元 (1)，这个数称为乘法逆元。

例如：a × (1/a) = 1，a 属于 R 且 a 不等于 0

这里，(1/a) 称为乘法逆元。

传递性： 当我们想到一个实数时，总会有许多比这个数小和大的数；这个性质称为传递性。

例如：让我们考虑19。

因为 18 < 19 < 20

稠密性： 在我们能想到的任何最小的数字之间都存在无限个实数；这表明实数在数轴上是稠密分布的。

例如：让我们考虑 0.12 和 0.13

0.12 < 0.125 < 0.13

顺序性： 任何两个实数都可以通过使用 < (小于)、> (大于) 和 = (等于) 符号进行排序。

例如：设 x 和 y 属于 R

要么 x > y，要么 x < y，要么 x = y

一些重要点

• '0'是一个独特的数字，既不是正数也不是负数。
• 一“1”不是质数，因为它只能被一（1）整除，并且只有一个因子。
• “2”是唯一既是“偶数”又是“质数”的数字。

实数的应用

实数应用于数学、物理、工程和经济学的各个领域。其中一些如下所示

1. 计算机科学：实数在计算机科学中表示时间、空间和概率等。
2. 统计学：实数用于表示数据并计算平均值、方差和标准差等汇总统计量。
3. 几何学：实数用于表示距离、角度、测量等。
4. 微积分：实数用于描述函数的行为、计算导数和定积分。
5. 金融：实数用于表示货币价值，并计算利率和其他金融量。

结论

• 任何实数都可以使用从“0到9”的符号表示。
• 实数范围非常广。
• 实数可以在数轴上表示。
• 每个实数都是独一无二的。
• 实数用于表示清点物体、事物和金钱。
• 实数在数学的几乎每个领域都至关重要。

让我们做一些关于我们所学知识的练习

问题1. 实数的定义是什么？

答案： 实数是有理数和无理数的集合；它用“R”表示。

问题2. 零“0”是正数吗？

答案： 不，零既不是正数也不是负数。因为“0”位于数轴的中间。

问题3. 是谁发现了“0”的记号？

答案： 著名数学家“阿耶波多”发现了零的记号。

问题4. 什么是偶质数？

答案： 既是偶数又是质数的实数称为偶质数。只有一个“2”符合这一类别。

问题5. 我们能写出实数系统中最大的数字吗？

答案： 不，由于实数的“传递性”，无法写出最大的实数。

问题6. 实数“1”是质数吗？

答案： 不，1不是质数。因为质数只能被1和它本身整除，必须有两个因子，但在1的情况下，只有一个因子。