1 是正有理数还是负有理数？

17 Mar 2025 | 4 分钟阅读

什么是无理数？

如果 p 和 q 都是整数且 q 不等于 0，则有理数表示为 p/q 的比值。例如，有理数具有基本形式 p/q，其中 p 和 q 是整数且 q≠0。

$1 is a Positive or a Negative Rational Number?$

任何两个有理数之间都有无数个其他的有理数。例如，如果我们有两个有理数，比如 10 和 20。那么，通过改变分母，我们可以很容易地通过使用 10/1、10/2、10/3、10/4、10/5 等分母在任意两个给定的整数之间生成无限多的有理数。

有理数可以用多种方式用主要表达形式写出。有理数的例子包括 4、41、332、0.25、-158、-0.11、7/4、-8/3 和 -1.1。然而，因为在这种情况下 q=0，所以 4/0 不表示有理整数。

有理数的性质

封闭性

在加法、减法、乘法和除法运算下，有理数是封闭的。简单来说，对两个有理整数“a”和“b”进行加法、减法、乘法和除法运算，结果是一个有理数。在有理数（p/q 形式）中，q ≠ 0。如果 q = 0，则结果未定义。

例如

6/7 + 2/9 = 68/63
3/5 - 1/7 = 16/35
2/3 × 3/9 = 2/9
7/15 ÷ 10/3 = 7/50

交换律

在加法和乘法下，有理数是可交换的。但是，此特性不适用于两个有理数的除法或减法。

⇒ a + b = b + a，其中 a 和 b 是两个有理数

并且，a × b = b × a

⇒ a - b ≠ b - a，

并且，a ÷ b ≠ b ÷ a

结合律

只有加法和乘法可以使用有理数的结合律。

例如

⇒ a + (b + c) = (a + b) + c，其中 a 和 b 是 2 个有理数

并且，a × (b × c) = (a × b) × c

1/3 + (1/5 + 2/4) = (1/3 + 1/5) + 2/4
= 31/30
3/7 × (2/5 × 3/4) = (3/7 × 2/5) × ¾
= 9/70

分配律

该性质指出，一个整数的乘法均匀分布在整数总和上。

⇒ a × (b + c) = (a × b) + (a × c)，这里 a 和 b 是两个有理数

例如

1/3 x (1/6 + 1/7) = (1/3 x 1/6) + (1/3 x 1/7)
= 13/126

恒等性质

根据恒等式性质，0 是有理数的加法恒等元，1 是乘法恒等元。

⇒ a/b + 0 = a/b (加法恒等元)

a/b x 1 = a/b (乘法恒等元)

例如

3/4 + 0 = 3/4 (加法恒等元)
3/4 x 1 = 3/4 (乘法恒等元)

逆元性质

恒等式性质指出，有理数 a/b 的加法逆元是 -a/y，乘法逆元是 b/a。

⇒ a/b + (-a/b) = 0，这里 a/b 的加法逆元 = (-a/b)

并且，a/b x b/a = 1，这里 a/b 的乘法逆元 = b/a

例如

2/9 + (-2/9) = 0，这里 2/9 的加法逆元是 -2/9。
3/8 x 8/3 = 1，这里 3/8 的乘法逆元是 8/3。

正有理数和负有理数

正有理数和负有理数是两种不同的有理数。

如果表示一个有理数的分子和分母具有相同的符号，则该有理整数为正。

例如，像这样的数字

3/4 , -11/-6

表示有理数的任何分数都有负分子或负分母，表明该有理数为负。

例如，像这样的数字，

-3/4 , 11/-6

所有有理数都可以表示为数轴上的点。正有理数大于零。它们位于数轴上 0 的右侧。负有理数小于零。在数轴上，它们位于 0 的左侧。

就像您发现整数的相反数一样，您可以找到非整数有理数的相反数。任何两个有理数，如果距离零的距离相等但位于零的两侧，则称它们互为相反数。