毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是一位古希腊哲学家。他出生于公元前570年，在萨摩斯（希腊），并于公元前495年逝世于梅塔蓬托姆（意大利）。他的全名是萨摩斯的毕达哥拉斯。

他在科学、数学、音乐、天文学和医学领域取得了许多发现。他进行的发现包括毕达哥拉斯定理、毕达哥拉斯音律、比例理论、地球的球体说、金星的身份以及五个正多面体。他还将地球划分为五个气候区。他将发现和证明毕达哥拉斯定理的主要功劳归于自己。

毕达哥拉斯或毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理仅基于直角三角形。该定理指出，在直角三角形中，底边和高线的平方和等于斜边的平方。

换句话说，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。直角边（底边和高线）是构成直角的三角形的边。

直角三角形的组成部分

下图表示一个直角三角形 ∆ABC。

• 底边：它是直角三角形中与高线和斜边相邻的一条边。在 ∆ABC 中，AB 是底边。
• 高线：它是直角三角形中与底边和斜边相邻的一条边。它被称为三角形的高度。在 ∆ABC 中，AC 是高线。
• 斜边：与直角相对的边称为斜边。换句话说，直角三角形中最长的边称为斜边。在 ∆ABC 中，BC 是斜边。
• 直角：在几何学中，直角是指角度为90°的角。在 ∆ABC 中，∠A 是一个直角。

毕达哥拉斯三元组

毕达哥拉斯三元组是一组三个正整数，它们满足毕达哥拉斯定理。最小的毕达哥拉斯三元组是(3, 4, 5)。

在 ∆ABC 中，(a, b, c) 是代表正整数值并满足定理的毕达哥拉斯三元组。

下表列出了一些毕达哥拉斯三元组。

关于毕达哥拉斯三元组的事实

• 一组三元数中总会有一个偶数。
• c 的值将始终是奇数。
• 它可能有两个质数。

毕达哥拉斯定理公式

请看下图。

在 ∆ABC 中，AC 是高线或高度，AB 是底边，BC 是斜边。高线、底边和斜边的长度分别为 a、b 和 c。根据毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯定理公式可以写成

或

或

毕达哥拉斯定理证明

证明： AC² = AB²+ BC²

已知：一个直角三角形 ∆ABC。

证明 1

在下图，我们从点 B 画了一条垂线 (BD)，该垂线在斜边上的点 D 处相交。

垂线将三角形分成两个三角形，即 ∆ADB 和 ∆BDC。

请记住：如果我们从直角顶点画一条垂线，两侧的三角形彼此相等，也等于整个三角形。

根据上述陈述，∆ABC=∆ADB

将方程 (i) 和 (ii) 相加，我们得到

AB²+BC²=AD×AC+DC×AC
AB²+BC²=AC(AD+DC)
AB²+BC²=AC×AC

因此，毕达哥拉斯定理得证。

让我们看看证明该定理的第二种方法。

证明 2

在下图，我们画了一个正方形 ABCD。在正方形 ABCD 内部，我们画了另一个正方形 EFGH，它形成了四个三角形 ∆AEF, ∆FDG, ∆GCH 和 ∆HBE。

现在，我们将分别计算这两个正方形和四个三角形的面积。

我们知道，正方形面积 = a² (其中 a 是正方形的边长)

正方形 ABCD 的面积=(a+b)²

我们知道，三角形面积 = bh

一个三角形的面积=ab

总共有四个三角形，所以四个三角形的面积将是

四个三角形的面积= 4×ab=2ab

正方形 EFGH 的面积=c² (其中 c 是正方形 EFGH 的边长)

正方形 ABCD 的总面积将是

ABCD 的面积 = EFGH 正方形的面积 + 四个三角形的面积

代入数值，我们得到

(a+b)²=c²+2ab
(a+b)(a+b)=c²+2ab
a²+2ab+b²=c²+2ab

在两边约去 2ab，我们得到

因此，该定理得证。

毕达哥拉斯定理应用题

示例 1：一个三角形的三条边分别为 5、12 和 13 厘米。使用毕达哥拉斯定理检查该三角形是否为直角三角形。

解决方案

已知 AB = 12 厘米，BC = 5 厘米，AC = 13 厘米

根据毕达哥拉斯定理，AC²=BC²+AB²

13²=5²+12²
169=25+144
169=169

因此，该三角形是直角三角形。

示例 2：已知底边长为 3 厘米，三角形高为 4 厘米，求 AC 的值。

解决方案

在 ∆ABC 中，已知 BC = 3 厘米，AB = 4 厘米。

根据毕达哥拉斯定理，BC²+AB²=AC²

将 AB 和 BC 的值代入上述公式，我们得到

3²+4²=AC²
9+16=AC²
25=AC²
AC=√25
AC=5

因此，斜边的长度是 5 厘米。

示例 3：已知斜边长为 10 厘米，三角形高为 8 厘米，求底边长。

解决方案

在 ∆ABC 中，已知 AC = 10 厘米，BC = 8 厘米。

根据毕达哥拉斯定理，BC²+AB²=AC²

将 AC 和 BC 的值代入上述公式，我们得到

10²=8²+AB²
100=64+AB²
100-64=AB²
36=AB²
AB=√36
AB=6

因此，底边的长度是 6 厘米。

示例 4：底边长和斜边长分别为 30 厘米和 50 厘米。求三角形的高度。

解决方案

在 ∆ABC 中，已知 AC = 50 米，AB = 30 米。

根据毕达哥拉斯定理，AC²=BC²+AB²

将 AC 和 AB 的值代入上述公式，我们得到

50²=BC²+30²
2500=BC²+900
2500-900=BC²
1600=BC²
BC=√1600
BC=40

因此，三角形的高度是 40 米。

示例 5：如果一个方形石头的边长为 9 米。求其对角线的长度。

解决方案

在上图中，我们看到有两个三角形 ∆ABC 和 ∆ADC。让我们以三角形 ∆ABC 为例来求对角线。

根据毕达哥拉斯定理，AC²=BC²+AB²

AC²=9²+9²
AC²=81+81
AC²=162
AC=√162
AC=9√2

因此，对角线的长度是 9√2 米。