如何计算圆的面积

在本节中，我们将学习如何计算圆的面积。在本节的最后，我们解释了一些与圆面积相关的例子，并提供了不同场景以供更好地理解。

圆：圆可以定义为一种轨迹（在一特定位置的点集），这些点到另一个称为圆心的点保持相等的距离。换句话说，圆是一种几何形状，从圆心到边缘的距离始终相同。每个圆都有一个圆心。

圆有以下组成部分

• 圆心：位于圆心处的点称为圆心。用o表示。
  
• 半径：从圆心到圆周的距离称为半径。换句话说，它是直径的一半。用r表示。
  r=d/2
  
• 直径：将圆分成两等分的直线的长度称为直径。这条直线必须穿过圆心。换句话说，直径是圆的半径的两倍。用d表示。
  d = 2r
  
• 弦：端点位于圆上的直线称为弦。换句话说，它是一条连接曲线上任意两点的直线。每条直径都是弦。但并非每条弦都是直径。在下图所示的线段AB是一条弦。
  
• 周长：圆所覆盖的区域称为周长。用C表示。
  C = πd       或     C = 2πr
  其中 π 是一个常数，其值为 3.1415。
  

定义

圆在二维平面上占据的空间称为圆的面积。换句话说，由圆的周长覆盖的所有空间都称为圆的面积。

在下图所示中，彩色区域代表圆的面积。

圆的面积公式

其中，

A：表示圆的面积。

π：是一个常数，其值为 3.1415 或 22/7。

r：表示圆的半径

圆的面积推导

推导圆的面积公式有两种方法

• 使用矩形
• 使用三角形

使用矩形

画一个圆并将其分成16等份。为了更好地理解，我们在这些部分中填充了两种颜色（红色和绿色）。如下图图(a)所示。分割后，圆的每个部分代表一个三角形。将这些三角形排列起来，如下图图(b)所示。得到的图形形成一个平行四边形。

平行四边形的面积将等于圆的面积，因为每个部分的面积和弧长都相等。

绿色部分代表周长的一半，另一部分红色代表周长的另一半。

如果份数增加，平行四边形将看起来像一个矩形，其长度等于πr，宽度等于r。

我们知道：

矩形的面积 (A) = 宽 * 长

其中 w 是宽度，l 是矩形的长。

从图可以看出，

宽度 (w) = πr 且 长度 (l) = r

将这些值代入公式，我们得到面积 (A) = πr * r

故，

使用三角形

画一个半径为 r 的圆。在这个圆中，画一些其他的同心圆（具有相同圆心的圆），如下图图(a)所示。现在将圆切割到圆心并展开。得到的形状将是一个三角形，如下图图(b)所示。

三角形的底和高将分别等于圆的周长和半径。

当我们计算三角形的面积时，它会得到圆的面积作为结果。

我们知道

三角形的面积 (A) = ½ * 底 * 高

从上图可以看出，

底 = 2πr 且 高 = r

将底和高的值代入三角形面积公式，

故，

示例

已知直径时

示例 1：如果圆的直径是 15 厘米，则求圆的面积。

解决方案

已知直径 (d) = 15 厘米。

面积 =？

首先，我们将求出半径。

我们知道：

d = 2r

根据上述公式，

我们知道：

已知半径时

示例 2：如果圆的半径是 10 厘米，则求圆的面积。

解决方案

已知半径 (r) = 10 厘米。

面积 =？

我们知道：

圆的面积 (A) = πr²

将 r 的值代入上述公式，

A = 314.00 平方厘米。

已知周长时

示例 3：如果圆的周长是 20 厘米，则求圆的面积。

解决方案

已知周长 (C) = 20 厘米

面积 =？

我们知道：

周长 (C) = 2πr

根据上述公式，

我们知道，

圆的面积 (A) = πr²

A = 3.14 * (31.40 * 31.40)

A = 3.14 * 985.96

A = 3095.9144 平方厘米。