无理数

无理数是不能表示为简单分数的实数。无理数不能表示为 p / q 这样的比值，其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于零。它与有理数是矛盾的。无理数通常表示为 R/Q，其中“集合减法”由反斜杠表示。它也可以表示为 R - Q，表示实数集与有理数集之间的差。

基于这些数字的计算有点复杂。例如 √5、√11、√21 等都是无理数。如果这些数字用于算术运算，那么首先我们需要评估根号下的值。现在让我们在本文中讨论它的定义、无理数列表、如何找到它们等。

什么是无理数？

无理数被定义为不能表示为整数比的实数，例如，根号 2 是无理数。没有无理数可以表示为 p/q 这样的比值，其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于零。此外，无理数既没有有限小数也没有循环小数。

无理数的含义：无理数的含义是没有比值，或者不能为该数字写出比值。换句话说，我们可以说无理数不能表示为两个整数的比值。

无理数的例子有哪些？

无理数的常见例子有圆周率 (π=3.14159265…)、√2、√3、√5、欧拉数 (e = 2.718281…..)、2.010010001… 等。

我们如何知道一个数是无理数？

不能表示为 p / q 形式的实数，其中 p 和 q 是整数且 q 不等于零的数被称为无理数。例如，根号 6 和根号 7 是无理数。而如果一个数可以表示为 p / q 形式，其中 p 和 q 是整数且 q 不等于零，则被称为有理数。

圆周率是无理数吗？

是的，圆周率 (π) 是一个无理数，因为它既不是有限小数也不是循环小数。此外，圆周率不等于 22 / 7，因为 22 / 7 是一个有理数，而我们知道圆周率是一个无理数。π 的值是 3.141592653589…………。

注意 - 有理数 (Q) 和无理数 (P 或 Q') 总是相互交替的。

因此，22/7 ≠ π 但它们是交替的或相邻的。

无理数的符号

通常，符号 'P' 用于表示无理数。此外，由于无理数是负面定义的，所以不属于有理数 (Q) 的实数集 (R) 被称为无理数。符号 P 经常被使用，因为它与实数和有理数相关。因为字母顺序是 P、Q、R。但大多数情况下，它使用实数减有理数的集合差来表示，即 R-Q 或 R/Q。

无理数的性质

众所周知，无理数是实数的子集，无理数将服从实数系统的所有性质。以下是无理数的性质：

• 如果我们将有理数和无理数相加，我们将得到一个无理数。例如，假设 x 是一个无理数，y 是一个有理数，这两个数 x + y 的和得到一个无理数 w。
• 如果我们将无理数乘以任何非零有理数，结果将是一个无理数。假设如果 my = z 是无理数，那么 x = z/y 是有理数，这与 x 是无理数的假设相矛盾。因此，乘积 XY 必须是无理数。
• 任意两个无理数的最小公倍数 (LCM) 可能存在也可能不存在。
• 两个无理数的加法或乘法可能是理性的；例如，根号 2 * 根号 2 = 2。这里，根号 2 是一个无理数。如果它相乘两次，那么得到的最终乘积是一个有理数。即 2。
• 与有理数集不同，无理数集在乘法运算下不封闭。

无理数列表

著名的无理数包括圆周率、欧拉数和黄金比例。此外，许多平方根数和立方根数也是无理数，但并非所有都是。例如，根号 5 是一个无理数，但根号 4 是一个有理数。因为 4 是一个完全平方数，例如 4 = 2 x 2 和 √4 = 2，这是一个有理数。应该注意的是，在任意两个实数之间有无限多个无理数。例如，假设 3 和 4，在 3 和 4 之间有无限多个无理数。现在，让我们看看著名无理数的值。

注意 - √质数总是得到一个无理数。

无理数是实数吗？

在数学中，所有无理数都被认为是实数，它们不应该是有理数。这意味着无理数不能表示为两个数的比值。例如，不是完全平方数的平方根总是会得到一个无理数。

我们来讨论两个无理数的和与积

两个无理数的积

声明：两个无理数的积可以是任何数，无论是有理数还是无理数。

例如，根号 3 是一个无理数，但当它再次乘以根号 3 时，我们得到的积，即 3，是一个有理数。

(即) √3 x √3 = 3

我们知道圆周率也是一个无理数，但如果圆周率乘以圆周率，结果是圆周率平方，这同样是一个无理数。

(即) π x π = π²

应该注意的是，两个无理数相乘，结果可能是一个无理数，也可能是一个有理数。

两个无理数的和

声明：两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数。

与两个无理数的乘积类似，两个无理数的和也会得到一个有理数或无理数。

我们用一个例子来讨论，如果我们将两个无理数相加，例如 3√2 + 4√3，和是一个无理数。

但是，我们考虑另一个例子，(3 + 4√2) + (-4√2)，和是 3，这是一个有理数。

因此，在加减和乘无理数时，我们应该非常小心，因为它可能会得到一个无理数或一个有理数。

无理数定理的定义和证明

定理：给定 p 是一个素数，且 a² 能被 p 整除（其中 a 是任意正整数），则可以得出结论 p 也能整除 a。

证明：根据算术基本定理，正整数可以表示为其素数乘积的形式，如下：

a = p₁ × p₂ × p_3……….. × p_{n …..(1)}

其中，p_1, p_2, p₃, _……,p_n 代表 a 的所有素因子。

将方程 (1) 两边平方，

a² = ( p₁ × p₂ × p_3……….. × p_{n) (} p₁ × p₂ × p₃……….. × p_n)

⇒a² = (p₁)² × (p₂)²× (^p3)^2………..× (p_n)²

根据算术基本定理，一个自然数的素因数分解是唯一的，除了因数的顺序。

a² 的唯一素因子是 p₁, p_2, p_{3………..,} p_n。如果 p 是一个素数并且是 a² 的一个因子，那么 p 是 p₁, p_{2 ,} p_{3………..,} p_n 中的一个。因此，p 也将是 a 的一个因子。

因此，如果 a² 能被 p 整除，那么 p 也整除 a。

现在，利用这个定理，我们可以证明 √ 2 是无理数。

如何找到无理数？

让我们找出 2 和 3 之间的无理数。

我们知道 4 的平方根是 2；√4 = 2

而 9 的平方根是 3；√9 = 3

因此，2 和 3 之间的无理数是 √5、√6、√7 和 √8，因为它们不是完全平方数，不能进一步简化。同样，您也可以在任何其他两个完全平方数之间找到无理数。

另一种情况

让我们假设 √2 的情况。现在，我们如何才能找出 √2 是否是一个无理数呢？

假设 √2 是一个有理数。那么，根据有理数的定义，可以写成：

√ 2 = p/q …….(1)

其中 p 和 q 是互质整数，且 q ≠ 0（互质数是指其公因子为 1 的数）。

将方程 (1) 两边平方，我们得到

2 = p²/q²

⇒ p² = 2 q ² ………. (2)

根据上述定理，如果 2 是 p² 的素因子，那么 2 也是 p 的素因子。

所以，p = 2 × c，其中 c 是一个整数。

将 p 的这个值代入方程 (3)，我们得到

(2c)² = 2 q ²

⇒ q² = 2c ²

由此我们可以看出 2 也是 q 平方的素因子。根据定理，也可以说 2 也是 q 的素因子。

根据我们最初的假设，p 和 q 是互质数，但上面得到的结果与这个假设相矛盾，因为 p 和 q 除了 1 之外还有一个共同的素因子 2。这种矛盾的产生是由于我们错误地假设根号 2 是有理数。

通过这个我们可以证明根号 2 是无理数。

同样，我们可以证明开头讨论的命题：如果 p 是一个素数，那么根号 p 是一个无理数。同样，可以证明对于任何素数 p，根号 p 都是无理数。

无理数已解决的例子

问题 1：以下哪些是有理数或无理数？

3, -.45678…, 6.5, √ 3, √ 5

解决方案：有理数 - 3, 6.5 因为它们是有限小数。

无理数 - -.45678…, √ 3, √ 5 因为它们是无限不循环小数。

问题 2：检查以下数字是有理数还是无理数。

2, 6 / 11, -5.12, 0.31

解决方案：由于有理数的小数展开要么是有限的，要么是循环的。因此，2、6/11、-5.12 和 0.31 都是有理数。