矩阵

矩阵在工程计算中非常有用。涉及矩阵的几种数学运算很重要。在本节中，我们将学习矩阵、它的表示法、类型、运算和应用。

什么是矩阵？

矩阵是一组数字，这些数字排列成水平和垂直的条目线。水平条目称为行，垂直条目称为列。这些数字称为矩阵的元素或条目。它写在一对方括号 [] 内。换句话说，它是数字的数组。它是数字以数组形式的矩形表示。

矩阵表示法

矩阵通常用大写字母表示，其元素用小写字母以及行和列号的下标表示。行和列分别用小写字母m和n表示。矩阵的大小由其包含的行数和列数定义。具有m行和n列的矩阵称为m × n矩阵。它总共包含m × n个元素。例如

在上述矩阵中，a_ij（i表示行号，j表示列号）是矩阵的元素。有三行三列，因此矩阵中共有九个元素。

矩阵可以包含任意数量的行和列。例如

矩阵的类型

矩阵有以下类型

空矩阵： 没有行和列的矩阵称为空矩阵。例如

[   ]

行矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵。它也称为行向量。例如

[4       3       6]

列矩阵： 只有一列的矩阵称为列矩阵。它也称为列向量。例如

零矩阵： 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。它也称为零矩阵。例如

方阵： 行和列维度相等（m=n）的矩阵称为方阵。例如

对角矩阵： 所有非对角元素都为零，并且其主对角线中至少包含一个非零元素的方阵称为对角矩阵。例如

标量矩阵： 所有对角元素都相等的对角矩阵称为标量矩阵。标量矩阵不能是单位矩阵，而单位矩阵可以是标量矩阵。例如

单位矩阵： 其主对角元素为1且所有非对角元素为零的标量矩阵称为单位矩阵。它也称为恒等矩阵。它用字母I表示。它也是一个标量矩阵。

例如

三角矩阵： 它是特殊类型的方阵，其主对角线形成上三角或下三角。三角矩阵有两种类型

• 上三角矩阵： 领先对角线下方所有元素都为零的方阵。换句话说，如果方阵A=[a_ij]满足以下条件，则它是上三角矩阵

例如

• 下三角矩阵： 主对角线上方所有元素都为零的方阵。换句话说，如果方阵A=[a_ij]满足以下条件，则它是下三角矩阵

例如

子矩阵： 矩阵的子矩阵是通过删除任意行或列或两者来确定的。例如，考虑以下矩阵

从上述矩阵A中，我们可以生成一个子矩阵。我们删除第2行和第3列。删除后，我们得到以下子矩阵

矩阵的应用

• 图论： 有限图的邻接矩阵是图论的基本表示法。
• 计算机图形学： 在计算机图形学中，矩阵在三维图像在二维屏幕上的投影中起着至关重要的作用。图形软件使用矩阵数学来处理线性变换以渲染图像。
• 求解线性方程组： 使用行约简、克拉默法则（行列式）、使用逆矩阵。
• 机器人学： 在机器人学和自动化中，矩阵是机器人运动的基本元素。
• 记录实验： 许多组织使用它来记录实验数据。
• 地质学： 用于地震勘探。
• 密码学。

矩阵上的运算

我们可以对矩阵执行以下运算

• 加法
• 减法
• 乘法
• 除法
• 标量乘法
• 否
• Transpose
• 矩阵的负数

矩阵的加法

两个矩阵的和可以通过添加位置匹配的元素来完成。请记住，两个矩阵必须具有相同的大小。结果矩阵也具有相同的大小。

假设有两个矩阵A和B，每个都是3×3大小。

A + B的和将是

加法性质

• 交换律： A + B = B + A
• 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C
• 加法单位元： A + 0 = 0 + A = A
• 加法逆元： A + (-A) = (-A) + A = 0

示例：添加以下矩阵A和B。

矩阵的减法

两个矩阵的减法可以通过减去位置匹配的元素来完成。换句话说，它是负矩阵的加法。请记住，两个矩阵必须具有相同的大小。结果矩阵也具有相同的大小。

假设有两个矩阵A和B，每个都是3×3大小。

A - B的减法将是

示例：减去以下矩阵A和B。

矩阵的乘法

矩阵乘法是行和列的点积。点积是两个数字序列的匹配条目乘积之和。

乘法性质

• 非交换性： AB ≠ BA
• 结合性： A(BC) = (AB)C
• 左分配性： A(B + C) = AB + AC
• 右分配性： (A + B)C = AC + BC
• 标量： k(AB)=(kA)B (其中k是标量)
• 单位元： IA=AI=A
• 转置： (AB)^T=A^TB^T

示例：乘以以下矩阵。

矩阵的除法

矩阵的除法是一个棘手的过程。要除以两个矩阵，我们执行以下步骤

• 找到除数的逆
• 将被除数矩阵乘以逆矩阵。

假设A和B是两个矩阵，那么

其中B^-1表示B的逆矩阵。

示例：除以以下矩阵A和B。

解决方案

A是分子，B是分母。

首先，我们将找到B的逆矩阵。

现在将被除数矩阵乘以逆矩阵。

标量乘法

当一个矩阵乘以一个标量（常数）时，称为标量乘法。在标量乘法中，我们将矩阵的每个元素乘以该标量。

假设给定一个大小为3×3的矩阵A。

如果它乘以常数k，那么标量乘法k × A将是

标量乘法的性质

设A和B是大小为m × n的两个矩阵，a和b是两个标量。那么

• 结合律： a (b A) = (a b) A
• 交换律： aA = Aa
• 分配律： (a + b) A = aA + b A 和 a (A + B) = aA + a B
• 单位元性质： 1 A = A
• 乘法性质： O A = O (其中O是零矩阵)

矩阵的逆

假设我们有一个方阵A，其行列式不等于零，那么存在一个m×n矩阵A^-1，称为A的逆矩阵，使得：AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

与3×3或4×4矩阵相比，找到2×2矩阵的逆矩阵更容易。按照以下步骤找到2×2矩阵的逆矩阵。

• 交换元素a和d的位置。
• 在b和c前面加上负号
• 将矩阵的每个元素除以行列式。

例如，A是一个2×2矩阵。

它的行列式是(ad-bc)，不等于零，那么矩阵的逆将是

有三种方法可以找到大矩阵的逆。

• 高斯-约旦法
• 使用伴随矩阵
• 使用矩阵计算器

逆矩阵的性质

• A × A^-1= I
• A^-1 × A = I
• (A^-1)^-1 = A
• (A^-1)^T = (A^T)^-1

转置矩阵

当我们把行转换为列，列转换为行，并生成一个新的矩阵，这个转换过程就称为转置矩阵。它用A^T或A′或A^tr或A^t表示。例如，考虑以下矩阵

上述矩阵的转置是

转置矩阵的性质

设A和B是两个矩阵，k是一个实数，那么

• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (AB)^T = B^TA^T
• (kA)^T = kA^T

矩阵的负数

设A=a_ij是一个m×n矩阵。矩阵A的负数是m×n矩阵B=b_ij，使得对于所有i, j，b_ij=-a_ij。矩阵A的负数记作-A。