数学中的函数

在数学中，函数是每个输入都有特定输出的关系。函数在科学和数学领域被广泛使用。在本节中，我们将学习**函数定义**、**函数类型、属性**的概念以及示例，以更好地理解。

**函数**表示两个不同集合之间的**关系**。第一个集合的每个元素都必须与第二个集合的一个元素相关联。

考虑下图，每个输入元素都与一个输出元素相关联。因此，该关系表示一个函数。

让我们再举一个例子。下图不表示函数，因为输入元素 q 与输出的两个不同元素相关联。

函数定义

函数是一个数学过程，它唯一地将一个变量的值与一个（或多个）其他变量的值关联起来。

与函数相关的术语

• **定义域：**在函数中，它是所有**可能输入**的集合。换句话说，它是可能输入变量的集合。
• **共域：**函数的**可能输出**称为共域。换句话说，它是函数的图像。
• **值域：**函数的**实际输出**称为值域。

假设有两个集合，分别名为**X**和**Y**，包含元素**{a, b, c, d}**和**{w, x, y, z}**。集合**X**的每个元素都与集合**Y**的一个元素相关联。集合**X**称为函数的**定义域**，集合**Y**称为函数的**共域**。值域是函数**_f_**的实际输出，即**{v, w, z}**。

函数表示法

函数表示法是一种表示函数或定义函数的方式。它用一个方程定义**函数的名称**。有以下**四种**表示函数的方法。

• 函数符号
• 箭头符号
• 索引符号
• 点符号

函数符号

函数符号最初由数学家**莱昂哈德·欧拉**使用。最常用的字母是**_f_、_g_**和**_h_**。字母必须是**斜体**和**小写**。这是最常用的符号。

通常，我们用字母**_f_**来表示一个函数，它被称为**函数名**。关系用**y=f(x)**（读作**x的_f_**）表示。元素**x**被称为函数的**输入**或**参数**，**y**被称为**输出**（函数的值）或**y是x的像**。

这意味着有序对**(x,y)**属于定义函数f的有序对集合。如果**X**是f的定义域，那么使用集合构造器符号定义的函数有序对集合是

例如，一个函数f可以通过方程定义

箭头符号

当我们想要**明确地**表示定义域时，使用箭头符号。假设**X**是函数f的定义域，**Y**是共域，那么函数的符号将是

读作：函数f从**X**到**Y**。

上述函数也可以写成

**读作：**函数f将**X**的元素映射到**Y**的元素。

例如，如果在集合X上定义了乘法，那么X上的平方函数sqr定义为

读作：函数**sqr**从**X**到**X**，将**x映射到x.x**。

索引符号

索引符号用于代替函数符号。这意味着使用**f_x**代替**f(x)**。它用于定义域包含一组自然数的函数。包含一组自然数的函数称为序列。

例如，在索引符号中，**x→f(x,t)**可以表示为**f_t**。如果我们通过公式定义映射集合**f_t**

点符号

在函数符号中，符号**x**不代表任何值。它只是一个占位符。如果我们将箭头左侧的**x**替换为任何值，那么箭头右侧的**x**也必须替换为相同的值。为了改变值，我们使用**间隔号（·）**来区分函数**f(·)**及其在x处的值**f(x)**。

例如，我们可以将**a(·)₂**用点符号表示为x→ax₂。

函数的类型

函数可以根据所使用的变量进行分类。有以下几种函数类型

• 一对一函数（单射函数）
• 多对一函数
• 满射函数（Surjective Function）
• 内射函数
• 代数函数
• 指数函数
• 对数函数
• 解析函数
• 反函数
• 单调函数
• 多项式函数
• 线性函数
• 二次函数
• 关系函数
• 三次函数
• 模函数
• 常数函数
• 复合函数
• 周期函数

在本节中，我们将只讨论一些常用的函数。

一对一函数

在一对一函数中，定义域的每个元素在共域中都有一个独特的图像。它也称为单射函数。如果**x₁**和**x₂**是函数f的两个不同输入，那么如果**f(x₁)≠f(x₂)**，则f是一对一函数。

在下图中，集合**X**的每个元素在共域**Y**中都有一个独特的图像，并且没有两个元素具有相同的图像。

多对一函数

在多对一函数中，定义域的两个或多个元素在共域中具有相同的图像。

在下图中，集合**X**有元素 {1, 2, 3, 4}，集合 Y 有元素 {a, b, c, d, e, f}。元素 1 和 2 在集合**Y**中具有相同的图像，即 b。

满射函数

如果集合 Y 的每个元素在定义域中都至少有一个原像，那么函数 f 称为**满射**函数或**映上**函数。

在下图中，我们可以看到集合**Y**的每个元素在集合**X**中都有一个原像或匹配元素。

内射函数

如果共域中至少存在一个元素不是定义域中任何元素的图像，则函数f被称为“映内”函数。

在下图中，共域中有一个元素（4）没有定义域中任何元素的图像。

恒等函数

恒等函数也称为相等函数。当且仅当满足以下两个条件时，函数**f(x)**和**g(x)**才被称为恒等函数

• f(x)的定义域 = g(x)的定义域 = x
• f(x)的值域 = g(x)的值域**或** f(x)=g(x) ∀ x ϵ X

恒等函数的图总是通过原点。下图表示**f(x)=x**的恒等函数图。

反函数

当定义域的所有元素变为值域，反之亦然时，称为反函数。它表示为 f^-1（读作 f 的逆）。考虑以下函数 f，它包含一组有序对，其中 x 是定义域，y 是值域。

f(x)={(x,y):(3,6),(1,12),(7,2),(9,4)}

函数的逆将是

f^-1 (x)={(x,y):(6,3),(12,1),(2,7),(4,9)}

寻找函数逆的步骤有四步

• 将函数**f(x)**替换为**y**
• 交换 x 和 y 变量
• 解出 y
• 用**f^-1(x)**替换**y**

**示例：**求函数 f(x)=x-4 的逆。

解决方案

**步骤 1：** y=x-4

**步骤 2：** x=y-4

**步骤 3：** y=x+4

步骤 4：f^-1 (x)=x+4

让我们为函数**f(x)=2^x**及其逆**f^-1(x)=y**绘制一个图。对于该函数，我们取了x的不同值，即0、2、4。

三次函数

一个具有三阶多项式的函数称为三次函数。例如，**f(x)=ax³+bx²+cx+d**，其中 a, b, c, d ϵ R 且 **a≠0**。

让我们为函数**f(x)=ax³**绘制一个图，其中 a 是常数。我们取 a 的值为 1，**x**的值为 **-2, -1, 0, 1, 2**。将这些值分别代入函数后，我们得到点，然后绘制图。

二次函数

二次函数的一般形式是 **f(x)=ax²+bx+c**，其中 a、b、c 是实数且 **a≠0**。二次函数的图总是呈 **U 形**。

让我们为函数**f(x)=ax²**绘制一个图，其中 a 是常数。我们取 a 的值为 1，**x**的值为 **-2, -1, 0, 1, 2**。将这些值分别代入函数后，我们得到点，然后绘制图。

常数函数

在常数函数中，对于每个输入，输出值都是相同的。常数函数的一般形式是 **f(x)=c 或 f=c**。当我们绘制常数函数的图时，我们会在平面上得到一条通过点 **(0,c)** 的**水平**线。

让我们绘制函数**f(x)=c**的图。在下图中，我们可以看到对于**x**的不同值，我们得到相同的输出。

模函数

它是一个为变量提供**绝对**值的函数。模函数的特性是其结果总是**正**的。无论输入给定给函数是什么，都不重要。x 的模函数**f(x)**可以定义为

考虑以上

• 如果 **x** 是正数，函数 **f(x)** 的输出将是 **x**。
• 如果 **x** 是负数，函数 **f(x)** 的输出将是 **x** 的绝对值。

简而言之，上述两点可以写成

模函数的图类似于V形。让我们绘制函数**f(x)=|x|**的图。对于该函数，我们使用了表中给出的**x**的不同值。

示例

当**x=-9**时，y的值为：**y=f(x)=-(-9)=9**
当**x=2**时，y的值将是：**y=f(x)=2**
当**x=0**时，y的值将是：**y=f(x)=0**

函数性质

• f(x)=x 是恒等函数。
• f^-1 (f(x))=f(f^-1 (x))=x
• 通常，f(g(x))≠g(f(x))，复合顺序很重要。