数学中的积

数学中的**积**是指乘法运算的结果。在本节中，我们将详细学习**积**这个术语及其**性质**和**示例**。

数学中的积是什么？

**数学中的积**可以定义为**两个或多个数字相乘**。换句话说，是一个表示要相乘的因数的表达式。

积是我们将两个数**乘数**和**被乘数**相乘后得到的结果。

乘号**左边**的数字称为**乘数**，乘号**右边**的数字称为**被乘数**。乘数和被乘数都称为**因数**。

如何求积

我们通过在两个或多个数字之间应用数学乘法运算**（× 或 * 或 .）**来得到两个数的积。例如

9×7=63

在这里，**63** 是 **9** 和 **7** 的**积**。

类似地，

4×5×8=160

在这里，**160** 是 **4、5** 和 **8** 的**积**。

我们还可以通过**重复加法**方法找到两个数的积。这意味着将数字本身加到乘数次。这种方法只适用于我们要找两个小数的积时。

这意味着，将 **b** 加 **a** 次，反之亦然。

但这并非传统的乘法方法。例如，如果我们要找 **6** 和 **7** 的积，我们可以将数字 **6** 加**七**次。

6+6+6+6+6+6+6=42

或

7+7+7+7+7=42

将数字 6 和 7 相乘，我们得到相同的结果。

6×7=42

注意：在本节的最后，我们写了如何求两个两位数和两个三位数的积的步骤。

两个整数的积

整数包括正数和负数。乘数或被乘数在数字前可能带有**正**号或**负**号。数字前**没有符号**表示正数。如果数字带有正号或负号，它们遵循下表中的规则。

上表表示

• **两个负数**相乘得到**正数**
• **两个正数**相乘也得到**正数**
• **一个正数**和一个**负数**相乘得到**负数**
• **一个负数**和一个**正数**相乘得到**负数**

让我们看一些基于上述规则的例子。

示例

15×5=75

-3×-9=27

-14×5=-70

6×-12=-72

两个小数的积

小数是包含**小数点 (.)** 的数字。例如，**23.56** 是一个小数。

我们还可以使用以下步骤找到两个小数的积

• 暂时忽略两个数字的小数点。
• 将两个数字作为整数相乘。进行乘法运算后，我们得到积。
• 在**乘数**和**被乘数**中，从**右边**数出**总的小数位数**。
• 在**积**中，从**右边**数出相同位数，并在那里放置小数点。
• 现在，我们得到了两个小数的积。

示例：求 23.3 和 12.21 的积。

解决方案

问题中有两个小数 **23.3** 和 **12.21**。

• 忽略两个数字的小数点。数字变为 **233** 和 **1221**。
• 将两个数字相乘。
  233×1221=284493
  我们得到积 **284493**。
• 在**乘数**和**被乘数**中，从**右边**数出**总的小数位数**。**乘数**中小数点后有**一位**数字，**被乘数**中小数点后有**两位**数字。所以，总共有**三位** (1 + 2) 小数位数。
• 在积 **(284493)** 中，从**右边**数出相同位数**(三位)**，并在那里放置小数点。我们得到 **284.493** 作为 23.3 和 12.21 的积。

两个分数的积

分数是以**分子**和**分母**形式表示的数字。

为了求两个分数的积，将**乘数的分子**乘以**被乘数的分子**，并将**乘数的分母**乘以**被乘数的分母**。用公式表示，我们可以将上述陈述写为

**分数**与其**乘法逆元**的积始终为 1。假设，一个分数是 ，其乘法逆元是 ，那么

如果分数中没有分母，请始终视为**1**。数字 **3** 在分数形式中与 相同。

有时，如果分数可被分母整除，或者乘数的分子可被被乘数的分母整除，反之亦然，我们需要简化分数。

注意：分子和分母必须能被相同的数字整除。

两个复数的积

复数是可以表示为 **(a+bi) 或 (a-bi)** 形式的数字，其中 **a** 和 **b** 是**实数**，**i** 是**虚数**。

我们可以使用**分配律**找到两个复数的积。请记住以下关于 i 的要点。

• i⁰=1
• i¹=i
• i²=-1 或 i=√-1
• i³=-i
• i⁴=1
• i⁵=i

一般来说，两个复数 **(a+bi)** 和 **(c+di)** 的积是

让我们看一个示例。

示例：求两个复数 (3-2i) 和 (-1+4i) 的积。

解决方案

(3-2i)×(-1+4i)=3×(-1)+3×(4i)-(2i)×(-1)-(2i)×(4i)
=-3+12i+2i-8i²
=-3+14i-8i²

将 **i²=-1** 的值代入，我们得到

-3+14i-8×(-1)
-3+14i+8
5+14i

两个复数 (3-2i) 和 (-1+4i) 的积是 (5+14i)。

平方根的积性质

• √a×√b=√a×b
• √a×√a=√a²=a
• a×√b=a√b
• √a×b=b√a
• a√x×b√y=a×b√(x×y)

积的性质

积有**四个**基本性质

• 结合律
• 交换律
• 恒等性质
• 分配律

结合律

当我们把三个或更多的数字乘在一起时，无论首先乘哪两个，乘积都相同。

交换律

乘法的顺序不影响乘积。

恒等性质

如果一个数字乘以 1，我们会得到相同的数字。因此，**1** 被称为**乘法单位元**。

分配律

这个性质被称为乘法对加法的分配律。它指出，如果一个和乘以一个数字，我们可以先将和的每一部分乘以这个数字，然后将结果相加。

积的一些其他性质是

• 两个相同数字的积称为该数字的**平方**。
• 如果一个数字乘以 **0**，我们得到 0 作为积。
• 如果乘数和被乘数都是 **1**，那么积也将是 **1**。
• 乘积不是唯一的。

两个大数的积

一旦我们掌握了逻辑，就很容易记住。为了更好地理解，我们写出了两个大数相乘的步骤。

注意：以下方法适用于乘数和被乘数具有相同位数的情况。

两个一位数的积

为了找到两个一位数的积，我们必须记住**乘法口诀表**或**乘法表**到 10。这使得找到两个数的积变得容易。即使我们不使用笔和纸也能找到积。下表显示了 1 到 10 的乘法表。

两个两位数的积

这包括**三个**步骤。为了便于理解，我们在这里使用了**四个**字母 (a, b, c, d) 作为数字。

假设我们要计算 **ab×cd** 的积，那么我们必须遵循以下步骤

让我们在一个例子中实现上述步骤。

**示例：47×56 的积是多少？**

步骤 1: (b×d)

7×6=42

在答案中写 **2**，并将 **4** 作为进位到下一步。

(更新答案：2)

**步骤 2:** [(a×d)+(b×c)]+上一步的进位（如果有）

[(4×6)+(5×7)]+4=63

在答案中写 **3**，并将 **6** 作为进位到下一步。

(更新答案：32)

**步骤 3:** (a×c)+上一步的进位（如果有）

(4×5)+6=26

在答案中写 **26**。

(更新答案：2632)

(47×56) 的积是 2632。

注意：始终从右到左写答案。

两个三位数的积

这包括**五个**步骤。为了便于理解，我们在这里使用了**六个**字母 (a, b, c, d, e, f) 作为数字。

假设我们要计算 abc×def 的积，那么我们必须遵循以下步骤

让我们在一个例子中实现上述步骤。

示例：624×315 的积是多少？

**步骤 1:** (c×f)

4×5=20

在答案中写 **0**，并将 **2** 作为进位到下一步。

(更新答案：0)

**步骤 2:** [(b×f)+(c×e)]+上一步的进位（如果有）

[(2×5)+(4×1)]+2=16

在答案中写 **6**，并将 **1** 作为进位到下一步。

(更新答案：60)

**步骤 3:** [(a×f)+(b×e)+(c×d)]+上一步的进位（如果有）

[(6×5)+(2×1)+(4×3)]+1=45

在答案中写 **5**，并将 **4** 作为进位到下一步。

(更新答案：560)

**步骤 4:** [(a×e)+(b×d)]+上一步的进位（如果有）

[(6×1)+(2×3)]+4=16

在答案中写 **6**，并将 **1** 作为进位到下一步。

(更新答案：6560)

**步骤 5:** (a×d)+上一步的进位（如果有）

(6×3)+1=19

在答案中写 **19**。

(更新答案：196560)

(624×315) 的积是 196560。

同样，我们也可以使用以下步骤找到**两个四位数**的积。