圆的方程

在几何学中，圆也可以用展开式来表示。它是通过展开标准形式中的二项式平方并合并同类项而得到的。为了找到圆的方程，我们使用距离公式。

在本节中，我们将学习圆的方程的标准形式和一般形式，并基于此解决一些问题。

圆的方程有两种形式：

• 标准形式
• 一般形式

标准形式

如果圆的方程是标准形式，我们可以很容易地找到圆心 (h, k) 和圆的半径。圆的标准方程是：

其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。请记住，r 的值始终为正。

让我们看一些基于标准形式的例子。

示例 1：从给定的方程中找出圆的半径和圆心。另外，绘制图形。

(x-2)²+(y-3)²=4

解决方案

给定的方程是 (x-2)²+(y-3)²=4。

请注意：如果负号出现在 (h, k) 的前面，则 (h, k) 将为正。

将给定方程与标准形式进行比较，我们得到：

h=2,k=3 and r²=4
r=√4=2

现在，我们可以在图纸上绘制半径 r = 2、圆心为 (2, 3) 的圆。

示例 2：从给定的方程中找出圆的半径和圆心。另外，绘制图形。

2x²+2y²=8

解决方案

给定的方程是 2x²+2y²=8。

上述方程不符合标准形式。因此，我们首先将方程除以 2，将其转换为标准形式。

解上述方程，我们得到

x²+y²=4

我们可以将上述方程写成：

(x-0)²+(y-0)²=4

将上述方程与标准形式进行比较，我们得到：

h=0,k=0 and r²=4
r=√4=2

现在，我们可以在图纸上绘制半径 r = 2、圆心为 (0, 0) 的圆。

示例 3：从给定的方程中找出圆的半径和圆心。

(x-4)²+(y+5)²=81

解决方案

给定的方程是 (x-4)²+(y+5)²=81。

将给定方程与标准形式进行比较，我们得到：

h=4,k=-5

我们看到 y 坐标是负数。通常，y 项是 (y-k)²。我们给出的项是 (y+5)，所以 k 必须是负数。我们也可以将其写为：(y-(-5))²。因此，y 坐标是负数。

因此，圆心坐标为 (4, -5)，半径为 9。

r²=81
r=√81=9

示例 4：一个圆的半径是 25 厘米，圆心坐标是 (-2, 6)。写出圆的方程。

解决方案

已知，半径 (r) = 25 厘米

圆心坐标 (h, k) = (-2, 6)

(x-(-2))²+(y-6)²=25
(x+2)²+(y-6)²=25

因此，圆的方程是 (x+2)²+(y-6)²=25。

示例 5：写出下面圆的方程。

解决方案

在给定的图中，圆心坐标 (h, k) 为 (0, 0)，半径 (r) 为 4。因此，圆的方程是：

x²+y²=16

一般形式

一般形式的方程是标准方程的展开形式。我们知道圆的标准方程是：

(x-h)²+(y-k)²=r²…………(1)

展开方程 (1)，我们得到：

x²+h²-2hx+y²+k²-2ky=r²

重新排列上述方程，我们得到：

x²+y²-2hx-2ky+h²+k²=r²
x²+y²-2xh-2yk+h²+k²-r²=0…………(2)

将 h, k, 和 r 的值替换为以下值，我们得到：

h=-g,k=-f,c=h²+k²-r²

将这些值代入方程 (2)，我们得到：

x²+y²-2x(-g)-2y(-f)+c=0

其中 (-g, -f) 是圆心，半径 (r) 是 √g²+f²-c²。

其中 g, f, 和 c 是常数。

我们可以进一步将 2g, 2f, 和 c 的值替换为 D, E, 和 F，分别表示。

其中 D, E, 和 F 是常数。

注意

• 如果 g²+f²-c²>0，则圆的半径是实数，方程表示一个实数圆。
• 如果 g²+f²-c²=0，则圆的半径也为 0。在这种特殊情况下，圆退化为点 (-g, -f)，该圆称为点圆。
• 如果 g²+f²-c²<0，则圆的半径是虚数。但是圆不是虚数，它是实数。这种圆称为虚圆。

让我们根据一般形式解决一些例子。

示例 6：从给定的方程中找出圆的圆心坐标和半径。

4x²+4y²-16x+24y-36=0

解决方案

给定的方程是 4x²+4y²-16x+24y-36=0。

首先，我们将整个方程除以 4，得到：

重新排列上述方程，我们得到：

x²-4x+y²+6y=9……(1)

现在我们将分别找出 g 和 f 的值。

我们知道：

在上述方程中，x 的系数是 -4。因此，

类似地，我们将找出 f 的值。我们知道：

在上述方程中，y 的系数是 6。因此，

注意：我们将 g² 和 f² 的值加到方程的两边。

将 g 和 f 的值代入方程 (1)，我们得到：

(x²-4x+4)+(y²+6y+9)=9+4+9
(x-2)²+(y+3)²=22

将上述方程与标准形式进行比较，我们得到圆心和半径。

h=2,k=-3 and r²=22
r=√22=4.7

因此，圆心是 (2, -3)，半径是 4.7。

示例 7：从给定的方程中找出圆的圆心和半径。

x²+y²+2x+4y-9=0

解决方案

给定的方程是：x²+y²+2x+4y-9=0。

重新排列上述方程，我们得到：

x²+y²+2x+4y=9
x²+2x+y²+4y=9……(1)

现在我们将分别找出 g 和 f 的值。

我们知道：

在上述方程中，x 的系数是 2。因此，

类似地，我们将找出 f 的值。我们知道：

在上述方程中，y 的系数是 4。因此，

注意：我们将 g² 和 f² 的值加到方程的两边。

将 g 和 f 的值代入方程 (1)，我们得到：

(x²+2x+1)+(y²+4y+4)=9+1+4
(x+1)²+(y+2)²=14

将上述方程与标准形式进行比较，我们得到圆心和半径。

h=-1,k=-2 and r²=14
r=√14=3.8

因此，圆心是 (-1, -2)，半径是 3.8。