二进制公式

二进制是一种以两个数字“0”和“1”形式表示的数字。我们也可以将其定义为由数字0和1组成的数字。例如，

0110

这是相当于十进制数5的二进制数。二进制数可以转换为十进制数系统、八进制数系统和十六进制数系统。

二进制数以2为基数表示。例如，

(11001110)₂

信号的数字传输通常以二进制数字的形式进行。计算机编程语言及其技术都基于二进制数字。输入到计算机的信息首先被转换为可理解的计算机语言（二进制语言）。这是通过指定的 ASCII 码完成的，ASCII 码代表美国信息交换标准代码。信息将进一步处理，并在将二进制语言转换为用户语言后以输出的形式呈现给用户。

在这里，我们将讨论以下内容

二进制数加法

二进制数减法

二进制数乘法

Binary to Decimal

二进制转八进制

二进制转十六进制

让我们开始。

二进制数加法

加法与普通加法略有不同，但相当简单。这是因为加法只使用两个数字：0 和 1。我们可以轻松地将两个或多个两位二进制数相加。

例如：

1 + 1 = 10

结果为0，进位为1

11 + 01 = 100

三个1相加可以计算为

1 + 1 + 1 = (1 + 1) + 1

= 10 + 1

= 11

同样，二进制数字相加。让我们讨论一些添加二进制数字的示例。

示例 1

将二进制数 110011 和 100111 相加。

二进制数加法的过程与 0 到 9 的数字的正常数学加法过程相似。唯一的区别在于数字的使用。这里，加法的过程只有数字 0 和 1。

步骤 1：从最右端开始。

步骤 2：将数字相加。为了更好地理解，我们在下表中列出了加法、进位和最终结果。

我们从右端到左端列出了二进制数字，因为加法总是从右端开始。我们可以将给定的两个数字中的任何一个二进制数视为 A 或 B。

最终总和为 1011010。

在这里，表示在两个给定二进制数上方的数字是进位。它与两个二进制数字的两个数字相加。

验证

让我们通过将数字转换为十进制来验证它们。

二进制数 'A' 的十进制值为 51

二进制数 'B' 的十进制值为 39

十进制总和为 90

51 + 39 = 90

因此，已验证。

示例 2

将二进制数 10110011 和 11100011 相加。

解决方案：步骤如下

步骤 1：将二进制数上下排列。

步骤 2：从最右端开始相加。

在这里，表示在两个给定二进制数上方的数字是进位。它与两个二进制数字的两个数字相加。

或

因此，两个二进制数 10110011 和 11100011 的和为110010110。

验证

让我们通过将数字转换为十进制来验证它们。

二进制数 'A' 的十进制值为 179

二进制数 'B' 的十进制值为 227

十进制总和为 406

179 + 227 = 406

因此，已验证。

二进制数减法

我们可以轻松地减去两个二进制数字。

减法中没有进位。但是，当减法是较小数时（0 - 1），则需要借位。借位是从高位数字或 1 借来的。让我们通过一些例子来更好地理解。

例如：

11 - 10 = 01

100 - 011 = 001

在这里，数字上的划线代表借位，只能从二进制数字“1”借。如果相邻的数字是 0，则从下一个二进制数字“1”借位。借位后，二进制数字“1”变为 0。借入 1 的后续数字变为 1。

由于从右端开始的第一个数字的相邻数字是 0，因此从下一个数字 1 借位。

因此，借位过程与数学中的借位过程相似，即当一个较大的数从较小数中减去时。

让我们通过两个例子来更好地理解。

示例 1

减去 1100110 和 0101110。

步骤如下

步骤 1：将二进制数上下排列。

步骤 2：从最右端开始减法，如下所示。

我们从右到左列出了二进制数字，因为减法总是从最右端开始。在二进制系统中，总是在较大的数中减去较小的数。

借位 - 0：由于 A 中的数字 0 没有自己的值，因此它将进一步从相邻的二进制数字借 1。

借位 (1) - 0 = 1

借出后，二进制数字 1 变为 0。

因此，差为 0111000。

或

因此，两个二进制数 1100110 和 0101110 的差为 0111000。

验证

让我们通过将数字转换为十进制来验证它们。

二进制数 'A' 的十进制值为 102

二进制数 'B' 的十进制值为 46

十进制差值为 56

102 - 46 = 56

因此，已验证。

示例 2

减去 11011011 和 01110001。

步骤如下

步骤 1：将二进制数上下排列。

步骤 2：从最右端开始减法，如下所示。

两个二进制数的减法从右端开始逐列进行。

我们知道：

0 - 1 = 1，借位 1

倒数第三列从倒数第二列的第一个数字借 1。它在给出 1 后变为 0，然后再次从最后一列借位。

在最后一列，

0 - 0 = 0

因此，最后一列的减法结果为 0。

因此，两个二进制数 11011101 和 01110001 的差为01101010。

验证

让我们通过将数字转换为十进制来验证它们。

二进制数 'A' 的十进制值为 219

二进制数 'B' 的十进制值为 113

十进制差值为 106

219 - 113 = 106

因此，已验证。

二进制数乘法

二进制数乘法与乘法类似，但只使用 0 和 1 两个数字。它遵循任何数字乘以零始终为零的概念。

示例

示例 1

将 1001 和 011 相乘

解决方案：我们将执行与上表中列出的类似的乘法。

步骤 1：从最右端开始乘法。

步骤 2：我们将用第二个数字 (011) 的每个数字乘以第一个数字 (1001)。

步骤 3：将乘法结果相加。

验证

让我们通过转换为十进制来验证上述乘法。

(1001)₂ = 9

(011)₂ = 3

两个二进制数的乘法结果是

(011011)₂ = 27

因此，

9 × 3 = 27

因此，已验证。

二进制转十进制

这是日常生活中常用的数字。它具有 10 的基数。十进制数以 0 到 9 的数字形式表示，而二进制数仅以两个数字表示，即 0 和 1。

例如：

(X)₁₀

其中，

X 是一个十进制数

二进制数 'abcde' 可以通过将二进制数的每个数字乘以从 0 开始的 2 的幂来转换为十进制数。乘法从给定二进制数的右端开始。

(e × 2⁰ + d × 2¹ + c × 2² + d × 2³ + e × 2⁴) 等等，如果数字计数更多。

例如：

示例 1

将二进制数 10011 转换为十进制。

解决方案：让我们考虑一个五位二进制数，如 abcde。

通过比较，我们得到

a = 1, b = 0, c = 0, d = 1, and e = 1

(1 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 0 × 2² + 0 × 2³ + 1 × 2⁴)

= (1 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16)

= 1 + 2 + 0 + 0 + 16

= 19

上述转换过程也显示在下图

示例 2

将二进制数 10011001 转换为十进制。

解决方案：我们将执行类似的转换过程。我们需要从左端开始用 2 的幂乘以二进制数字。

(1 × 2⁰ + 0 × 2¹ + 0 × 2² + 1 × 2³ + 1 × 2⁴ + 0 × 2⁵ + 0 × 2⁶ + 1 × 2⁷)

= (1 × 1 + 0 × 2 + 0 × 4 + 1 × 8 + 1 × 16 + 0 × 32 + 0 × 64 + 1 × 128)

= (1 + 0 + 0 + 8 + 16 + 0 + 0 + 128)

= 153

(10011001)₂ = (153)₁₀

因此，二进制数 10011001 等于十进制数 153。

下面表格中列出了一些二进制数的快速转换

二进制转八进制

八进制是一种以 8 为基数表示的数字，数字范围从 0 到 7（0、1、2、3、4、5、6 和 7）。它以三位二进制的形式表示。八进制数从 0 到 7 的转换与十进制相同。在早期，八进制数系统被用作计算机编程语言。

下表列出了八进制数（0-7）到二进制的转换

在 7 之后，数字从 10 开始到 17，20 到 27，30 到 37 等。它不显示十进制数字 8 和 9 的转换。因此，由于只涉及 0 到 7 的 8 个数字，因此将其命名为八进制数系统。

下表列出了八进制数（10-17）到二进制的转换

这是相同的三位二进制数，带有前缀“1”。同样，20 到 27 的转换也是相同的三位二进制数，带有前缀“10”，而 30 到 37 的转换则带有前缀“11”。

有两种不同的方法可以从二进制转换为八进制。

1. 二进制转八进制
2. 二进制转十进制转八进制

二进制转八进制

这是一个从二进制到八进制的直接转换过程，一种简单快捷的方法。示例

示例 1

将 11001001 转换为八进制

步骤 1：从最右端开始，将给定的二进制数分成三位一组。

11-001-001

步骤 2：从表中，将三位二进制数转换为八进制。

(001)₂ = (1)₈

(11)₂ = (3)₈

步骤 3：合并十六进制转换数字。

11-001-001 = 3 - 1 - 1

= 311

因此，二进制数 11001001 在八进制系统中是 311。

示例 2

将 100100111001 转换为八进制

我们首先从最右端开始，将给定的二进制数分成三位一组，然后代入八进制数的值。

100-100-111-001

4 - 4 - 7 - 1

= 4471

因此，二进制数 100100111001 在八进制系统中是4471。

二进制转十进制转八进制

由于从二进制到十进制再从十进制到八进制的转换，这是一个漫长的过程。

示例：1

将二进制数 10010 转换为八进制。

步骤 1：二进制转十进制

可以通过将二进制数的每个数字乘以从 0 开始的 2 的幂来将其转换为十进制数。乘法从给定二进制数的右端开始。

(0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 0 × 2² + 0 × 2³ + 1 × 2⁴)

= (0 × 1 + 1 × 2 + 0 × 4 + 0 × 8 + 1 × 16)

= 0 + 2 + 0 + 0 + 16

= 18

步骤 2：十进制转八进制

为此，我们将数字除以 8。

8 × 2 = 16（余数为 2）

右侧显示余数。八进制值将是最后十位数的余数，第一位数的余数。这意味着八进制转换将是反向余数的顺序。

因此，二进制数 10010 在八进制系统中是22。

二进制转十六进制

十六进制指十六（16），其基数也为 16。数字范围从 0 到 9，从 A 到 F。十六进制的总范围从 0 到 16，其中数字 10 到 15 被标记为 A 到 F。十六进制数字以四位数字的形式表示。

十六进制数从 0 到 9 的转换与十进制相同。

下表列出了十六进制数（0-9）到二进制的转换

从 10 到 15，数字列为

有两种不同的方法可以从二进制转换为十六进制。

1. 二进制转十六进制
2. 二进制转十进制转十六进制

二进制转十六进制

这是一个从二进制到十六进制的直接转换过程，也非常简单快捷。

示例

示例 1

将 11001001 转换为十六进制

步骤 1：从最右端开始，将给定的二进制数分成四位一组。

1100-1001

步骤 2：从表中，将二进制数与十六进制数进行比较并代入其值。

(1001)₂ = (9)₁₆

(1100)₂ = (C)₁₆

步骤 3：合并十六进制转换数字。

1100-1001 = C - 9

= C9

因此，二进制数 11001001 在十六进制系统中是 C9。

示例 2

将 100111 转换为十六进制

步骤 1：从最右端开始，将给定的二进制数分成四位一组。

10-0111

步骤 2：从表中，将二进制数与十六进制数进行比较并代入其值。

(0111)₂ = (7)₁₆

(10)₂ = (2)₁₆

步骤 3：合并八进制转换数字。

10-0111 = 2 - 7

= 27

因此，二进制数 100111 在十六进制系统中是27。

二进制转十进制转十六进制

首先，我们需要将二进制数转换为十进制数，然后再转换为十六进制。

让我们考虑一个例子。

将 11011100 转换为十六进制。

步骤 1：二进制转十进制

可以通过将二进制数的每个数字乘以从 0 开始的 2 的幂来将其转换为十进制数。乘法从给定二进制数的右端开始。

(0 × 2⁰ + 0 × 2¹ + 1 × 2² + 1 × 2³ + 1 × 2⁴ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁶ + 1 × 2⁷)

= (0 × 1 + 0 × 2 + 1 × 4 + 1 × 8 + 1 × 16 + 0 × 32 + 1 × 64 + 1 × 128)

= (0 + 0 + 4 + 8 + 16 + 0 + 64 + 128)

= 220

(11011100)₂ = (220)₁₀

因此，二进制数 11011100 等于十进制数 220。

步骤 2：十进制转十六进制

为此，我们将数字除以 16。

16 × 13 = 208（余数为 12）

右侧显示余数。十六进制转换将是反向余数的顺序。这意味着第一个余数放在最后，最后一个余数放在开头，形成一个十六进制数。

我们知道 12 等于 C，13 等于 D。因此，十六进制数是 DC。

因此，二进制数 11011100 在十六进制系统中是DC。

(11011100)₂ = (DC)₁₆