帕斯卡三角形

在数学中，帕斯卡三角是一个由永不终止的数字组成的三角形。帕斯卡三角最早由法国数学家布莱兹·帕斯卡在17世纪提出。他曾将帕斯卡三角用于概率论的研究。之后，世界各地的许多学者都对此进行了研究。

在本节中，我们将学习什么是帕斯卡三角，它的用途、公式和性质。

什么是帕斯卡三角？

帕斯卡三角是一个永无止境的等边三角形，其数字数组以三角形的方式排列。三角形以1开始，并在下方以三角形模式继续排列数字。请记住，帕斯卡三角永不结束。

在帕斯卡三角中，每个数字是其上方两个数字之和。

帕斯卡三角的表示法

帕斯卡三角的最顶行是第0行。紧邻第0行下方的行是第1行，然后是第2行、第3行，依此类推。

帕斯卡三角中每行的最左边的元素或条目被视为该行的第0个元素。第0个元素右侧的元素是该行的第1个元素，依此类推。

从上图可以看出，帕斯卡三角中每i行包含i+1个元素。

帕斯卡三角的用途

由于其简单易懂的模式，它被广泛应用于数学的许多领域，如概率论、代数、数论、组合数学和分形。它也用于求多项式的系数。

如何找出帕斯卡三角的条目

这是一个遵循将两个数字相加的规则的三角形。要得到三角形中的一个新数字，我们将其添加到正在计算其数字的确定行上方的数字。在下图的尖形条目显示了其上方两个条目的总和。

帕斯卡三角的性质

帕斯卡三角具有以下性质：

• 它是对称的。这意味着三角形有一个镜像。在下图的红色条目显示了对称性。
  
• 每行的最左边和最右边条目都是1。在下图的红色和绿色条目是帕斯卡三角的左边和右边条目，它们都是1。
  
• 第一条对角线（蓝色）和最后一条对角线显示的是1。
• 第二条对角线（粉色）显示的是计数数字，如1, 2, 3, 4 等。
• 第三条对角线（黄色）显示的是三角数，如1, 3, 6, 10 等。
  
• 各行的总和等于2的幂。幂与行号相对应。
  
• 每行都是11的幂。幂与行号相对应。
  
• 每行以1开头和结尾。
• 在第二条对角线上，每个数字的平方等于其旁边和下方数字的总和，如下图所示。
  
• 帕斯卡三角的i行包含该行中的i+1个元素。
• 它永不结束。

公式

我们可以使用组合公式找到帕斯卡三角中的任何条目。

在上述公式中，n_Cr 表示从n中选择r。我们也可以将n_Cr 写成C(n,r), n^Cr。

其中，

n： 是集合的大小（样本中的总项目数）。

C： 是组合。

r： 是子集大小（要从样本中选择的项目数）。

有时，我们也使用k代替r。因此，我们可以用n和k来写上述公式，如：

让我们用上述公式来找出帕斯卡三角中的一些条目。

示例：求第4行第4个条目。

解决方案

我们要找出第4行第4个条目。这里，n=4，r=4。

将n和r的值代入公式，得到：

因此，第4行第4个条目是1。

示例：求第6行第5个条目。

解决方案

我们要找出第6行第5个条目。这里，n=6，r=5。

将n和r的值代入公式，得到：

因此，第6行第5个条目是6。

同样，我们可以直接找出帕斯卡三角中的任何条目。

二项式展开

在代数中，二项式是用于将两个事物加在一起的术语。它指的是系数（变量前的数字）的模式。当我们将二项式乘以自身一定次数时，我们得到系数。它写成(a+b)ⁿ。

借助帕斯卡三角，我们还可以确定二项式展开的系数。考虑第二行的多项式展开，即(a+b)²=a²+2ab+b²=1a² b⁰+2a¹ b¹+1a⁰ b²。在这个多项式中，系数是1, 2, 1。

同样，我们也可以找到其他二项式展开。

下图显示了帕斯卡三角的前十一行。