完全平方数

定义

在数学中，完全平方数或平方数是指一个正整数是另一个整数的平方。换句话说，当我们把两个相同的数相乘时，得到的积就称为完全平方数。简而言之，它是两个相等正整数的乘积，或者一个整数与其自身的乘积。

完全平方数的表示法

完全平方数用 x² (读作“x的平方”) 来表示，其中 x 称为底数，2 称为指数。它的意思是乘以两次，即 x×x。

例如，当我们用 5 乘以 5 时，得到结果 25。这被称为完全平方数。

完全平方数表

从上表我们可以得出结论，一个数的完全平方数可以通过将前一个数、当前数（计算平方的数）以及前一个数的平方相加来计算。假设我们要找到数 x 的平方，那么

负数的平方

我们也可以求负数的平方。但请记住

这意味着负数的平方总是正数。例如，-7² 的平方是 49。

小数的平方

我们也可以求小数的平方。为了做到这一点，暂时忽略小数点，然后求这个数的平方。之后，从右边数出小数的位数。在结果中，从右边数出相同数量的位数，然后在此处放置小数点。

例如，2.5 的平方是 6.25。同样，1.1 的平方是 1.21。

分数的平方

求分数的平方很简单。在这种情况下，我们分别求分子和分母的平方，并在必要时简化分数。例如， 的平方是 。

无理数的平方

不能用整数表示的数称为无理数。无理数的例子是 √7、√3 等。

无理数的平方就是它本身，去掉根号。例如，√2 的平方是 2。同样，√15 的平方是 15。

平方的性质

• 如果一个数 x 可以完美地排列成一个正方形，那么它就是完全平方数。
  例如，2 的平方是 4。我们可以像下面那样，将四个点完美地排列成一个正方形。
  
  同样，6 的平方是 36。我们可以像下面那样，将 36 个点完美地排列成一个正方形。
  

在十进制中，平方数的个位数是 0、1、4、5、6。

• 如果一个数以 0 结尾，它的平方也以 0 结尾。最后两位数以 00 结尾。例如，10 的平方是 100。
• 如果一个数以 1 或 9 结尾，它的平方以 1 结尾。例如，11 的平方是 121，9 的平方是 81。
• 如果一个数以 2 或 8 结尾，它的平方以 4 结尾。例如，12 的平方是 144，8 的平方是 64。
• 如果一个数以 3 或 7 结尾，它的平方以 9 结尾。例如，13 的平方是 169，7 的平方是 49。
• 如果一个数以 4 或 6 结尾，它的平方以 6 结尾。例如，4 的平方是 16，16 的平方是 256。
• 如果一个数以 5 结尾，它的平方也以 5 结尾。最后两位数以 25 结尾。例如，5 的平方是 25，15 的平方是 225。

在十二进制和素数中，一个数的平方总是以平方数（0、1、4、9）结尾。

• 如果一个数同时能被 2 和 3 整除，则它的平方在个位数上是 0。
• 如果一个数不能同时被 2 和 3 整除，则它的平方在个位数上是 1。
• 如果一个数只能被 2 整除，则它的平方在个位数上是 4。
• 如果一个数只能被 3 整除，则它的平方在个位数上是 9。

其他一些性质

• 偶数的平方是偶数，并且能被 4 整除。因此，

• 在上面的几点中，我们看到偶数的平方可以被 4 整除。但是形式为 4x+2 的偶数不是完全平方数。
• 奇数的平方是奇数。

• 所有的奇数平方数都具有 4x+1 的形式。但是形式为 4x+3 的奇数不是完全平方数。