如何计算斜率

在数学中，直线无处不在，例如在几何、代数等领域。斜率定义了直线的方向和陡峭程度。如果我们了解了与直线相关的概念，就更容易理解直线应用的其它概念。

在本节中，我们将学习斜率的定义、斜率公式、斜率的类型以及如何找到直线的斜率，并附有恰当的示例。

斜率定义

斜率定义了直线的陡峭程度。陡峭程度的意思是直线倾斜的程度。换句话说，斜率表示直线在坐标平面上的方向。它也称为直线的梯度。

斜率的现实生活中的例子包括坡道、楼梯和滑梯等。

斜率公式

我们可以通过将高度变化（∆y）除以水平距离变化（∆x）来计算直线的斜率。斜率用m表示。

其中

m：表示斜率

(x₁,y₁)：直线上第一个点的坐标

(x₂,y₂)：直线上第二个点的坐标

y₂-y₁=∆y：表示垂直变化

x₂-x₁=∆x：表示水平变化

我们也可以将上述公式写成

上升 (Rise): 直线的垂直变化称为上升或下降。

运行 (Run): 直线的水平变化称为运行。

斜率的类型

斜率的类型也称为斜率的方向，因为它表示直线的方向。斜率有四种类型：

• 正斜率
• 负斜率
• 零斜率
• 无定义斜率

正斜率：在正斜率中，两个变量 x 和 y 呈正相关。这意味着当 x 增加时，y 值也增加。当 y 减小时，x 值也减小。正斜率从左到右向上倾斜。

在下图的图形中，直线从左到右向上倾斜，表示正斜率。

负斜率：在负斜率中，两个变量 x 和 y 呈负相关。这意味着当 x 增加时，y 值减小。当 x 减小时，y 值增加。负斜率从左到右向下倾斜。如果m<0，斜率将为负。

在下图的图形中，直线从左到右向下倾斜，表示负斜率。

零斜率：在零斜率中，直线平行于 x 轴，y 坐标不变。值为 0。这是水平线的斜率。

在下图的图形中，直线平行于 x 轴，表示零斜率，并且无论 x 是什么，y 都保持不变。

无定义斜率：在无定义斜率中，直线平行于 y 轴，∆x 的值为 0。这是垂直线的斜率。无论 y 坐标是什么，x 坐标都不变。这与零斜率相反。

在下图的图形中，直线平行于 y 轴，表示无定义斜率。

从以上定义，我们可以得出结论：

• 如果 m>0，则直线从左到右沿向上方向递增。
• 如果 m<0，则直线递减并沿从左到右的向下方向。
• 如果 m=0，则直线是水平的，且斜率恒定。
• 如果 m 无定义，则直线是垂直的，且斜率无定义。

如何计算斜率

让我们根据斜率解决一些示例。

示例 1：找到下面给定直线的斜率。

解决方案

从上图可知，(x₁,y₁)=(2,1) 和 (x₂,y₂)=(6,3)

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

m 的值为正，因此表示正斜率。

因此，给定直线的斜率为 。

示例 2：如果直线上的两个点是 (0, 2) 和 (-2, 6)，则找到直线的斜率。同时，在图上绘制该直线。

解决方案

给定直线的坐标为 (x₁,y₁)=(0,2) 和 (x₂,y₂)=(-2,6)

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

m 的值为负，因此该直线表示负斜率。

因此，直线的斜率为 -2。

示例 3：包含点 (4, 2) 和 (0, 2) 的直线的斜率是多少？绘制图形，并找出斜率是正、负、水平还是垂直。

解决方案

给定直线的坐标为 (x₁,y₁)=(4,2) 和 (x₂,y₂)=(0,2)

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

m 的值为零，因此直线是水平的，y 永远不变。

因此，直线的斜率为 -2。

示例 4：一条直线具有坐标 (2, 4) 和 (2, -2)。求直线的斜率。

解决方案

给定直线的坐标为 (x₁,y₁)=(2,4) 和 (x₂,y₂)=(2,-2)

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

m 的值为无定义，因此直线是垂直的，x 永远不变。

因此，直线的斜率是无定义的。

示例 5：如果一条直线的上升是 4.8，运行是 6.2。求直线的斜率。

解决方案

给定上升=4.8 和运行=6.2

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

因此，直线的斜率为 0.77。

示例 6：找到下面给定直线的斜率。

解决方案

给定直线的坐标为 (x₁,y₁)=(-1,-2) 和 (x₂,y₂)=(3,-1)

根据公式

将值代入上述公式，我们得到

因此，直线的斜率为

示例 7：直线的方程是 y= x-6。求直线的斜率。

解决方案

给定的方程是 y= x-6。

我们知道，直线方程是 y=mx+b。

比较方程，我们得到

m=

因此，直线的斜率为