斯图尔特定理

几何学是数学的一个分支，研究形状及其不同的性质，并且长期以来一直是基础的学习领域。在这个概念中，“三角形”这个特殊的形状，在这个几何概念中占有特殊的地位，因为它们是具有三条边最简单的多边形，这是构成多边形的最小边数。三角形对于理解更复杂的几何形状很重要，并且在各种数学和科学概念中起着重要作用。有如此多的定理可以计算或以不同的方式展示三角形的性质，而最复杂和最重要的定理之一就是Stewart 定理；它与三角形边和割线之间的关系有关：割线是一条连接三角形的一个顶点到该三角形对边的线段。因此，在本文中，我们将学习 Stewart 定理的概念、历史和应用，并在文章结尾进行总结。

历史

该定理以苏格兰数学家“Matthew Stewart”的名字命名，Stewart 定理诞生于 18 世纪初；他当时是一位杰出的数学家，生于 1717 年至 1785 年，他还为包括数学在内的各个研究领域做出了贡献。他的工作以一种结合了哲学、物理学以及当然是数学的元素的处理方式为标志。

Stewart 辛勤工作在数学领域的成果就是 Stewart 定理，该定理于 1746 年首次出版在他的著作《Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics》中；该定理展示了 Stewart 一直在研究的三角形边和割线之间的关系。

Stewart 定理源于他对三角形内部几何关系的探索；特别是，Stewart 试图展示三角形的边与连接一个顶点到对面一点的线段之间的关系。这条线段被称为割线，它引起了 Stewart 的好奇心，他试图揭示一个数学关系，在已知一些量的情况下，可以用来确定三角形中未知量的长度。

理解 Stewart 定理

在开始理解定理本身的概念之前，了解一些与三角形和割线相关的基本概念和定义非常重要。

1. 三角形

三角形是具有三条边、三个顶点和三个角的**多边形**；三角形根据边和角之间的关系进行分类。一些常见的三角形类型是**等边三角形**（所有边和角都相等）、**等腰三角形**（两条边和两个角相等）以及**不等边三角形**（所有边和角都不同）。

2. 割线

割线是连接三角形的一个顶点到对面一点的线段；三角形中有各种类型的割线，包括中线、高线和角平分线。每种类型都服务于不同的概念并具有独特的几何性质。

Stewart 定理的陈述

Stewart 定理可以陈述如下：

在三角形 ABC 中，设 'a' 为边 BC 的长度，'b' 为边 AC 的长度，'c' 为边 AB 的长度，设 'd' 为割线 AD 的长度，其中 D 是 BC 边上的任意一点。那么，根据 Stewart 定理，以下关系成立：

b² * m + c² * n = a * d² + m * n * a

b² * m + c² * n = a * (d² + m * n)

其中

• m 是 BD 的长度（从 B 到 D 的线段）。
• n 是 CD 的长度（从 C 到 D 的线段）。

换句话说，该定理将割线段（m 和 n）的长度与三角形边（a、b 和 c）的长度联系起来。当您需要找到一个割线段（例如 AD）的长度，同时又知道其他两个割线段（BD 和 CD）以及三角形边（a、b 和 c）的长度时，该定理特别有用。

Stewart 定理的证明

证明 Stewart 定理有几种方法，但我们将使用余弦定理和三角形的基本性质。

考虑三角形 ABC；使用余弦定理，我们可以将角 ? 的余弦表示为三角形边长的函数：

Cos (?) = (m² + d² - c²) / (2dm) … (1)

类似地，使用余弦定理，我们可以将角 ?' 的余弦表示为三角形边长的函数：

Cos (?') = (n² + d² - b²) / (2dn) … (2)

从图中我们可以看到， ? + ?' = 180?。

• ? = 180 - ?'
• Cos (?) = Cos (180 - ?')
• Cos (?) = - Cos (?') … (3)

因此，将方程 (1) 和 (2) 代入方程 (3)，我们得到：

• (m² + d² - c²) / (2dm) = (n² + d² - b²) / (2dn)
• n * (m² + d² - c²) = m * (n² + d² - b²)
• nm² + nd² - nc² = mn² + md² - mb²

整理并进行一些计算后，我们得到：

• b² * m + c² * n = a * d² + m * n * a
• b² * m + c² * n = a * (d² + m * n), 这就是所需的结果。

一些几何解释

为了更深入地理解 Stewart 定理，让我们探索其几何解释；它特别提供了一种平衡割线 AD 对三角形边的影响的方法。方程的左侧是 AC 和 AB 的长度的平方，即 b2 和 c2，乘以割线段 BD 和 CD 的长度，即 m 和 n。这些项代表相对于割线 AD 的三角形的“对边”；方程的右侧是边 BC 的长度的平方 (a2) 乘以割线 AD 的长度 (d2) 以及割线段 BD 和 CD 的乘积 (m * n)。这些项代表相对于边 AD 的三角形的“对边”。

简而言之，Stewart 定理展示了一个平衡割线 AD 和三角形 ABC 的边的方程，突出了这些几何元素之间的联系。

Stewart 定理的应用

Stewart 定理在数学、物理、工程学甚至计算机图形学等各个领域都有广泛的应用；让我们讨论一些 Stewart 定理适用的实际应用：

1. 三角函数计算：Stewart 定理最常见的应用之一是三角函数计算；通过重新排列定理的方程，您可以获得涉及三角形的边和角的三角函数关系。这在解决复杂的三角函数方程和证明三角函数恒等式方面特别有用。
2. 计算割线段长度：Stewart 定理主要用于在给定其他相关长度的情况下确定三角形内割线段的长度；这在涉及三角形的几何问题和实际应用（如建筑和测量）中非常有用。
3. 分析机械系统：在物理和工程学中，Stewart 定理可用于分析机械系统并计算力和距离；简而言之，它在涉及结构构件以及力分布在多个组件上的情况下特别有用。
4. 计算机图形学：在计算机图形学和动画中，Stewart 定理可用于计算 3D 空间内物体的位置和运动，并且通过模拟物体和角色的运动，在创建逼真的动画中发挥作用。
5. 解决几何问题：Stewart 定理通常出现在几何竞赛和问题解决练习中，它为解决复杂的几何谜题提供了一个强大而有用的工具，并提供了一种系统的方法来找到解决方案。

结论

Stewart 定理是出于 Matthew Stewart 在数学上的好奇心和探索而发现的；该定理已被证明是几何学和整个数学领域一个非常重要的概念。它的简洁和简短的表达为理解和解决涉及三角形和割线的复杂问题提供了强大的工具；除了数学之外，该定理的应用还延伸到物理学、工程学、计算机图形学和各种其他领域。

随着我们继续探索几何学在现代世界中的复杂性和应用，Stewart 定理提醒我们数学发现的重要性和有用性；它邀请所有数学家、科学家和问题解决者揭示三角形的奥秘，并在数学世界中发现新的联系和关系。