三角数

三角数也称为三角形数。它表示一个数以等边三角形的形式展开成数列或序列。其他还包括立方数和平方数。

第 n 个三角数： 边上为 n 个点的三角形排列中的点数等于从 1 到 n 的 n 个自然数的和。三角数序列从第 0 个三角数开始

三角数示例

• 飞机一起飞行构成这种队形。
• 鸟群以三角形队形飞行。

三角数的例子包括

三角数的公式

三角数的公式如下

数学归纳法可以证明这个公式

现在假设对于某个自然数 q

使用数学归纳法证明公式

让我们假设某个自然数 n

方程两边都加上 (n + 1)

由此我们可以得出结论，对于 k = 1、n 和 (n + 1)，它都是成立的

其中 (n + 1)/ 2 被称为二项式系数。它表示可以从 n + 1 个对象中选择的不同对的数量，可以表示为

(n + 1) 阶乘 / (n + 1 - 2) 阶乘 2 阶乘

它已简化为 {n (n + 1)}/2。

因此，从上文我们可以得出结论，n 个自然数的和给出了一个三角数。我们可以推断，自然数的求和给出了一个三角数。

三角数的性质

• 两个连续三角数之和得到一个平方数。

假设

= 3 + 6 = 9 = 3 x 3

• 如果 A 是一个三角数，那么 9 * A + 1 也将是一个三角数。

9 * A + 1 = 9 x 6 + 1 = 55

9 * A + 1 = 9 x 10 + 1 = 91

• 三角数的末尾不能出现 2、4、7 或 9。
• 如果 A 是一个三角数，那么 8 * A + 1 总是完美平方数

8 * A + 1 = 8 * 3 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5 x 5

8 * A + 1 = 8 * 6 + 1 = 48 + 1 = 49 = 7 x 7

• 从 1 开始的 n 个连续立方数的加法或总和等于第 n 个三角数的平方。

A² = 10 x 10 = 100 = 1 x 1 x 1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + 4 x 4 x 4

A² = 15 x 15 = 225 = 1 x 1 x 1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + 4 x 4 x 4 + 5 x 5 x 5。

• 不存在等差数列中的四个特定三角数。
• 两个连续三角数的平方之和或加法得到一个三角数。

A₁² + A² = 1 x 1 + 3 x 3 = 10

A₁² + A₂² = 3 x 3 + 6 x 6 = 9 + 36 = 49

A₁² + A₂² = 6 x 6 + 10 x 10 = 36 + 100 = 136

与三角数相关的一些有趣事实

• 所有完全数也都属于三角数类别
• 序列数 1, 11, 111, 1111, 11111, …… 在 9 进制下都是三角数。
• 3 是唯一的素数三角数。

回文三角数

这些数正着读和反着读都一样。例如，55、66、171、595、666、3003、5995、8778、15051、66066等被称为回文三角数。从三角数类型中共有 28 个回文三角数

可逆三角数

有些三角数，当它们反转后也得到三角数。可逆三角数的例子包括 190、171、153、120、820、15051 和 17578。

平方三角数

序列中存在无限个三角数，并且该序列生成平方数。例如 1、36、1225、41616……。

三角数的应用

三角数主要应用于握手问题，它是最突出的应用之一。

已解决的示例

问题：确定序列 45、55、…… 中的下一个三角数。

差 = 55 - 45 = 10。

为了确定下一项的差值，我们需要在差值上再加一，结果将是

= 10 + 1 = 11

因此下一项

55 + 11 = 66.

问题：初始三角数为 1、3、6、10、15 和 21。给出求第 n 个三角数的一般公式。

一般公式 = n + (n - 1) + (n - 2) + …. + 2 + 1

例如，我们想确定第 4 个数，所以我们将 n = 4 代入方程，将得到所需的结果。