文氏图

在数学中，文氏图是一种表示两个或多个集合之间关系的图。它是由约翰·文恩提出的。他以图画的形式表示不同事物群体之间的关系，这种图被称为文氏图。

在本节中，我们将学习什么是文氏图，它的类型、目的、用途，以及如何用恰当的例子来表示它。在学习文氏图之前，让我们快速回顾一下集合。

集合是事物的集合或群体。它可能包含数字、元音、动物、素数等。集合用大写字母表示，集合的元素用小写字母表示。集合的所有元素都包含在一对花括号 {} 中。

例如，E 是一个表示小于 10 的偶数的集合。我们可以用集合的形式表示它，如下所示：

E={2,4,6,8}

其中 E 是集合的名称，2, 4, 6, 8 是集合的元素。我们也可以用图画的形式表示一个集合，这被称为文氏图。

什么是文氏图？

表示有限集合（一组事物）之间数学逻辑或关系的图或图形称为文氏图。它用于说明集合关系。我们通常使用圆圈或椭圆来表示文氏图。它可能有一个以上的圆圈；每个圆圈代表一个集合。

假设有两个集合 A 和 B，分别包含元素 {1, 2, 3} 和 {8, 5, 9}。我们可以将这两个集合表示在文氏图中，如下图所示。

文氏图的优点

• 它用于比较和分类。
• 它将信息分组到不同的部分。
• 它还突出了相似之处和不同之处。

文氏图的用途

文氏图用于数学，以理解集合论。我们也用它来理解对象集合之间或集合内的关系。它描绘了集合的交集和并集。

如何绘制文氏图

• 首先，我们画一个矩形。
• 在矩形的左上角或右上角写上并集 () 符号。
• 在矩形内部，写上不属于任何集合的元素。绘制代表集合的圆圈。
• 在圆圈内部或外部，写上相应集合的名称。
• 在圆圈内部，写上集合的元素。

假设有两个集合 A 和 B，它们有一些共同的元素。这些集合的文氏图可以按如下方式绘制：

文氏图的类型

文氏图有以下类型：

• 双集图
• 双集欧拉图
• 三集图
• 三集欧拉图
• 四集图

双集图：当两个集合相互重叠时，称为双集图。在下面的图中，有两个集合A和B，分别包含元素{a, e, i, o, u}和{a, b, c, d, e, f, g}。这两个集合中有两个共同元素，即{a, e}。让我们在文氏图中表示这种关系。

双集欧拉图：当两个集合不重叠时，称为双集欧拉图。在下面的图中，有两个集合A和B，分别包含元素{芒果、苹果、香蕉、番石榴、葡萄}和{土豆、辣椒、姜、西红柿、胡萝卜、萝卜}。集合 A 代表水果集合，集合 B 代表蔬菜集合。蔬菜和水果不匹配，所以集合中没有共同元素。让我们在文氏图中表示这两个集合。

如果一个集合完全包含另一个集合，那么它既是欧拉图也是文氏图。假设集合 A 代表动物集合，集合 B 代表食肉动物集合。很明显，不是所有的动物都是食肉动物，但反之亦然。因此，所有的食肉动物也存在于动物集合 A 中。我们可以如下在文氏图中表示：

三集图：当三个集合相互重叠时，称为三集图。在下面的图中，有三个集合A、B和C，分别包含元素{Andrew, Peter, Sam, Tom, David}、{Michael, Sam, Tom, Robert, Jack, Smith}和{David, Maria, Tom, Angelina, Michael}。集合 A、B 和 C 分别代表学习物理、化学和数学的学生姓名。在上述集合中，有些学生只学一门学科，有些学生学两门学科，有些学生学三门学科。

• David 是学习物理和数学的学生。
• Michael 是学习化学和数学的学生。
• Sam 是学习化学和物理的学生。
• Tom 是学习化学、数学和物理三门学科的学生。

因此，我们可以如下在文氏图中表示：

三集欧拉图：在三集图中，当一个集合不与其他两个集合重叠时，称为三集欧拉图。假设集合 A 代表元音集合{a, e, i, o, u}，集合 B 代表字母集合{a, b, c, d, e, f, g}，集合 C 代表希腊字母集合{ρ,ω,φ,θ,ϵ}。我们可以如下在文氏图中表示：

三集欧拉图可以包含嵌套集合。在下面的图中，粉色事物集合可能包含浅粉色事物集合。

上面的图不是文氏图，因为两个集合（黑色事物和浅粉色事物）不重叠。

四集图：我们使用椭圆形来表示四集图，因为圆圈不再能相互重叠。椭圆形确保所有集合都相互重叠。这是表示四集图的唯一选择。

我们也使用带有曲线的三集图来表示四集图。当使用圆圈的四集图也是欧拉图时，圆圈将无法显示每对集合之间的并集。

在开始示例之前，让我们快速回顾一下集合论中使用的符号。

A={1,3}
B={2,3,9}
C={3,9}

A∪B={1,2,3,9}

A∩B={3}

{1}⊂A
C⊂B

{1,3}⊄A

{1}⊆A
{1,3}⊆A

B⊃C

3∈A

4∉A

让我们来解决一些基于文氏图的例子。

示例 1：在一个办公室，随机选择 200 名员工进行调查。在 200 名员工中，140 人喜欢茶，120 人喜欢绿茶，80 人既喜欢茶也喜欢绿茶。根据问题-答案中提供的数据，回答以下问题。

• 仅喜欢茶的员工人数？
• 仅喜欢绿茶的员工人数？
• 既不喜欢茶也不喜欢绿茶的员工人数？
• 仅喜欢茶或绿茶之一的员工人数？
• 至少喜欢一种饮料的员工人数？

解决方案：我们可以用文氏图表示给定的信息，其中T代表茶，G代表绿茶。

• 仅喜欢茶的员工人数 = 60
• 仅喜欢绿茶的员工人数 = 40
• 既不喜欢茶也不喜欢绿茶的员工人数 = 20
• 仅喜欢茶或绿茶之一的员工人数 = 60 + 40 = 100
• 至少喜欢一种茶或绿茶的员工人数 = n (仅茶) + n (仅绿茶) + n (茶和绿茶) = 60 + 40 + 80 = 180

示例 2：在一项对一所学校 500 名学生进行的调查中，团队观察到

• 49% 的学生喜欢踢足球。
• 53% 的学生喜欢踢曲棍球。
• 62% 的学生喜欢打篮球。
• 27% 的学生喜欢同时踢足球和曲棍球。
• 29% 的学生喜欢同时打篮球和曲棍球。
• 29% 的学生喜欢同时踢足球和打篮球。
• 5% 的学生不喜欢玩任何游戏。

根据以上数据，回答以下问题。

• 喜欢玩所有游戏的学生的百分比？
• 求喜欢只踢足球的学生的百分比与喜欢只踢曲棍球的学生的百分比之比。
• 喜欢只玩一种游戏的学生的百分比。
• 喜欢至少玩两种游戏的学生的百分比。

解决方案

n(F) = 喜欢踢足球的学生 = 49%
n(H) = 喜欢踢曲棍球的学生 = 53%
n(B) = 喜欢打篮球的学生 = 62%
n (F ∩ H) = 27%
n (B ∩ H) = 29%
n(F ∩ B) = 28%

由于 5% 的人喜欢玩上述任何游戏，所以 n (F ∪ H ∪ B) = 95%。

现在应用基本公式，

求解，我们得到 n (F ∩ H ∩ B) = 15%。

现在，我们将根据我们计算出的信息绘制文氏图。请记住，图中的所有值都以百分比表示。