抛物线图

二次函数的图形在数学上被称为抛物线。帕斯卡将抛物线定义为圆的射影曲线。大多数时候，物体在物理运动中会采取抛物线形状的曲线路径。在均匀引力作用下下落的抛射体遵循伽利略命名的抛物线路径。

抛物线是具有镜像对称的平面曲线，通常呈 U 形。本章将概述标准抛物线公式的历史，展示几种标准形式的示例，并描述抛物线的特征。

引言

抛物线方程有一个点，该点与一个固定点和一条固定线等距。抛物线的焦点是固定点，抛物线的准线是固定线。

坐标几何中的关键曲线是抛物线。还必须记住，固定点不在固定线上。称为抛物线的点的位置是那些与焦点和特定线（准线）等距的点。

抛物线公式

抛物线通常定义为 y = an (x-h)2 + k 或 x = a(y-k)2 + h，其中 (h,k) 表示顶点。公式 y2 = 4ax 定义了一个普通的抛物线。

要理解抛物线的组成部分和特征，您应该熟悉以下术语。

该点充当抛物线的焦点 (a, 0)。

准线：准线是一条垂直于 y 轴并经过 (-a, 0) 的假设直线。垂直轴的抛物线存在于抛物线中。

焦点弦：穿过抛物线中心的弦称为焦点弦。这条弦在两个地方穿过抛物线。

焦距：焦距是焦点与抛物线上坐标为 (x1, y1) 的点之间的距离。因此，焦点与准线等距且垂直。

长宽比：穿过抛物线中心且垂直于其轴的弦。根据公式 LL' = 4a，长宽比的长度。长宽比的端点是 (a, -2a), (a, -2a), 和 (a, a)。

离心率：(e = 1)。它是点到焦点与到准线的距离之比。当考虑抛物线时，它等于 1。

抛物线的标准方程

抛物线有四种常见方程。四种常见形状取决于抛物线的轴和方向。这些抛物线具有不同的横轴和共轭轴。四种常见方程和抛物线形状可以在下图看到。

从标准形式的方程中，可以得出以下结论

• 关于其轴，抛物线是对称的。当方程包含 y2 项时，对称轴沿 x 轴；当它包含 x2 项时，对称轴沿 y 轴。
• 当对称轴沿 x 轴且 x 的系数为正时，抛物线向右开口；当为负时，它向左开口。
• 当对称轴沿 y 轴时，根据 y 的系数是正还是负，抛物线向上或向下展开。

抛物线公式

抛物线公式代表平面中抛物线路径的通用形状。以下列出了用于确定抛物线参数的公式。

• 抛物线的方向取决于 a 的值。
• 顶点 = (h,k)，其中 k = f 且 h = -b/2a (h)
• 长宽比 = 4a
• 焦点：(1/4a, h, k+)
• 准线 y = k - 1/4a

抛物线的图

下面是以下二次方程的抛物线形状的图。取公式 y = 32 - 6x + 5。这个抛物线中的 A、B 和 C 都等于三。

当 a 为正时，抛物线展开。

顶点：(h,k) (h,k)

h = -b/2a

= 6/(2 ×3) = 1

k = f(h) (h)

= f(1) = 3(1)2 - 6 (1) + 5 = 2

因此顶点是 (1,2)

长宽比 = (4a) = (4 + 3) = (12)

焦点：(1,25/12) = (h, k+ 1/4a)

对称轴是 x = 1。

准线 Y = k-1/4a

y = 2 - 1/12 ⇒ y - 23/12 = 0

抛物线的特征

在这里，我们将尝试理解围绕抛物线的一些关键特征和术语。

切线：接触抛物线的直线称为切线。切线 y2 = 4ax 在接触点 (x1,y1)(x1,y1) 处满足方程 yy1=2a(x+x1)。

法线：这条线穿过接触点和抛物线的焦点，并与其垂直。对于方程为 y2 = 4ax 的抛物线，法线方程是 (yy1)=y12a(xx1)(yy1)(xx1)，经过点 (x1,y1)(x1,y1)，斜率为 m = -y1/2a。

切点弦：当抛物线的两条切线接触时绘制的弦。对于抛物线外的点 (x1,y1)(x1,y1)，切点弦的方程是 yy1=2x(x+x1)yy1=2x(x+x1)。

极点和极线：绘制抛物线的外部点——切点相交处——位于弦的末端。极点被定义为从该点绘制的极线。因此，当使用“极线”一词时，它指的是极点。对于坐标为 (x1,y1)(x1,y1) 的极点，极线的方程由 yy1=2x(x+x1)yy1给出，其中 y2 = 4ax 是抛物线。

参数坐标：抛物线方程的参数坐标是 (at2, 2at)。这些坐标代表了抛物线上的所有点。

结论

示意图的平滑 U 形曲线取决于其系数的符号，它决定了它是向上还是向下展开。绘制抛物线最简单的两个点是顶点和截距。对称轴是绘制抛物线时使用的另一个工具。此轴两侧的点具有相同的值。如果图有 x 截距或 a，您也可以保留图上的其他点。