矩阵乘法

在数学中，矩阵乘法与我们通常进行的乘法运算不同。它是一种二元运算，在两个矩阵之间进行，并产生一个新的矩阵。在本节中，我们将学习矩阵乘法，它的性质以及相关的例子。

在进行矩阵加法或减法时，我们对位置匹配的元素进行加减。但在矩阵乘法中，我们不是这样做的。相反，我们执行行和列的点积。

点积：它是两个数字序列的匹配项乘积之和。

注意：在处理矩阵乘法时，请记住第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。如果条件不满足，则无法进行矩阵乘法。

在矩阵乘法中，不一定要求两个矩阵都是方阵，不像加法和减法。

假设我们有一个维度为 m×n 的矩阵 A 和一个维度为 n×k 的矩阵 B，那么结果矩阵的维度将是 m×k。

让我们通过一个例子来理解。

假设我们有两个矩阵 A 和 B，它们的维度分别为 2×3 和 3×2。结果矩阵将是一个 2×2 的矩阵。

要找到结果矩阵的第一个元素，将矩阵 A 的第一行与矩阵 B 的第一列相乘，然后将乘积相加。

(a,b,c).(p,q,r)=a×p+b×q+c×r

要找到结果矩阵的第二个元素，将矩阵 A 的第一行与矩阵 B 的第二列相乘，然后将乘积相加。

(a,b,c).(x,y,z)=a×x+b×y+c×z

要找到结果矩阵的第三个元素，将矩阵 A 的第二行与矩阵 B 的第一列相乘，然后将乘积相加。

(d,e,f).(p,q,r)=d×p+e×q+f×r

要找到结果矩阵的第四个元素，将矩阵 A 的第二行与矩阵 B 的第二列相乘，然后将乘积相加。

(d,e,f).(x,y,z)=d×x+e×y+f×z

结果矩阵是

2×2 矩阵与 2×1 矩阵的乘法

两个 2×2 矩阵的乘法

3×3 矩阵的乘法

同样，我们可以找到不同维度矩阵的乘法。

乘法性质

• 不可交换性： AB ≠ BA
• 结合律： A(BC) = (AB)C
• 左分配律： A(B + C) = AB + AC
• 右分配律： (A + B)C = AC + BC
• 标量乘法： k(AB)=(kA)B （其中 k 是标量）
• 单位矩阵： IA=AI=A
• 转置： (AB)^T=B^TA^T

示例 1：相乘以下矩阵。

示例 4

解决方案

矩阵 A 和 B 的维度分别为 1×4 和 4×1，因此结果矩阵的维度将是 1×1。

A×B=[2×7+5×2+6×3+8×9]

A×B=[114]

矩阵 A 和 B 的乘积是 [114]。

解决方案

矩阵 A 和 B 的维度分别为 3×2 和 2×1，因此结果矩阵的维度将是 3×1。

解决方案

我们知道单位矩阵是主对角线元素为 1，其他元素为零的矩阵，称为单位矩阵。

示例 8：将矩阵 A 与其负矩阵相乘。

解决方案

我们需要计算 A×(-A) 或 -A²。

矩阵 A 的负矩阵是 -A。这意味着将矩阵 A 的每个元素乘以负号。