有理数

在数学中，有理数是一种实数，表示为 p/q 的形式，其中 q 不等于零。任何分母不为零的分数都是有理数。一些有理数的例子是 15 / 14、2 / 4、6 / 7 等。数字 "0" 也是一个有理数，因为我们可以将其表示为 0 / 1、0 / 2 和 0 / 3 的形式。但是，1 / 0、2 / 0、3 / 0 等不是有理数，因为我们得到的值是无限的。

什么是“有理数”？

在数学中，有理数的定义是任何可以表示为 p/q 形式的数，其中 q 不能等于零。我们还可以说，任何分数都属于有理数的范畴，其中分子和分母都是整数，并且分母不等于零。当有理数（即分数）相除时，结果将是小数形式，可以是有限小数或循环小数。

如何识别有理数？

为了识别有理数，我们可以检查以下条件：

• 它表示为 p/q 的形式，其中 q≠0。
• 比率 p/q 可以进一步简化并表示为小数形式。

有理数集:

1. 包括正数、负数和零。
2. 可以表示为分数。

有理数示例

不同类型的有理数

如果一个数可以写成一个分数，其中分子和分母都是整数，并且分母是一个非零数，那么这个数就称为有理数。

• 所有有理数都包含在实数 (R) 中。
• 实数包括整数 (Z)。
• 整数包括自然数 (N)。

有理数的标准形式

有理数的标准形式可以定义为，如果除数和被除数除了 1 之外没有其他公因数，并且除数是正数。

例如：12/ 48 是一个有理数。但它可以进一步简化为 1/ 4；被除数和除数之间唯一的公因数是 1。因此，我们可以说有理数 1 / 4 是标准形式。

正有理数和负有理数

正如我们之前所学，有理数表示为 p / q 的形式，其中 p 和 q 是整数。此外，q 不能为零。自然数有正数和负数两种。如果这个有理数是正数，则 p 和 q 都是正整数。如果这个有理数的形式为 -(p/q)，则 p 或 q 取负值。这意味着

=> -(p / q) = (-p) / q = p / (-q)

现在，让我们看一些正有理数和负有理数的例子

有理数的算术运算

在数学中，算术运算是我们对整数进行的基本运算。让我们在这里讨论如何对有理数 p/q 和 s/t 进行这些运算。

1. 加法：当我们相加 p/q 和 s/t 时，我们需要使分母相同或考虑最小公倍数。因此，我们得到 (pt+qs)/qt。

示例: 1/ 4 + 3/4 = (1 +3) /4 = 4 /4.

2. 减法：同样，如果我们减去 p/q 和 s/t，我们也需要先使分母相同，然后再进行减法。

示例: 1/ 4 - 3/4 = (1 - 3) /4 = -2 /4 = -1/2.

3. 乘法：在乘法的情况下，当乘以两个有理数时，分别乘以有理数的分子和分母。如果 p/q 乘以 s/t，则得到 (p×s)/(q×t)。

示例：13 /2 × 3/4 = (13 ×3)/(2×4) = 39 /8。

4. 除法：如果 p/q 除以 s/t，则表示为：(p/q)÷(s/t) = p ×t/q× s

示例：1/2 ÷ 3/ 8 = (1× 8)/(2×3) = 4/ 3 = 4 /3。

有理数的乘法逆元

正如我们已经知道的，有理数表示为 p / q 的形式，它是一个分数。乘法逆元的定义是给定分数的倒数。

例如：如果 2 / 3 是一个有理数，那么有理数 2 / 3 的乘法逆元是 3 / 2，因为当我们乘以这两个数时，我们会得到 1。[(2 / 3) * (3 / 2) = 1]

有理数的性质

我们知道有理数是实数的子集，因此有理数将遵循实数系统的性质。有理数的一些重要性质如下：

• 如果我们对有理数进行任何运算，如加法、乘法、除法或减法，结果总是有理数。
• 如果我们将分子和分母都乘以或除以相同的因子，有理数不会改变。
• 如果我们向有理数加零，我们得到的是它本身。
• 有理数在加法、减法和乘法下是封闭的。

有理数和无理数

顾名思义，有理数和无理数之间是有区别的。分母不为零的分数称为有理数。数字 2 / 3 是有理数，因为它表示为整数 2 除以整数 3。所有不是有理数的数都称为无理数。

有理数可以是正数、负数或零。在指定负有理数时，负号要么在数字前面，要么在数字的分子处，这符合标准的数学表示法。例如：我们将 5 / 2 的负数表示为 - 5 / 2。

无理数不能写成简单的分数，但可以用小数表示。它在小数点后有无限个不重复的数字。一些常见的无理数是：

圆周率 (π) = 3.142857...

欧拉数 (e) = 2.7182818284590452..

√2 = 1.414213...

如何在两个有理数之间找到有理数？

两个有理数之间有无限个有理数。可以通过两种不同的方法轻松找到两个有理数之间的有理数。现在，让我们看看这两种不同的方法。

方法 1

找出给定有理数的等价分数，并在它们之间找出有理数。这些数字应该是所需有理数。

方法 2

找出两个给定有理数的平均值。平均值应该是所需有理数。为了找到更多有理数，请对旧的有理数和新得到的有理数重复相同的过程。