众数

数学中的模式也是一种集中趋势的度量。在本节中，我们将尝试理解模式的定义、如何找到模式以及模式的示例。

模式定义

模式可以定义为出现次数最多的数字。换句话说，在一个集合中出现次数最多的数字。在数字中出现次数最高（数字的重复）的数字称为模式。

如果列表中或观测值中没有重复的数字，则该列表没有模式。

如何找到模式

找到模式或模式值非常容易。我们可以按照以下步骤找到模式：

• 首先，将给定的数字按升序或降序排列。这是一个可选步骤。它使计数更容易。它减少了错误计数的几率。
• 计算每个数字的频率。
• 频率最高的数字就是模式。

注意：一个集合可以有不止一个模式。

• 如果一个列表没有重复的数字，那么该列表没有模式。
• 如果一个列表有两个模式，则称为双峰。
• 如果一个列表有三个模式，则称为三峰。
• 如果一个列表有四个或更多模式，则称为多峰。

分组数据的模式

当所有数字的频率都相同时，模式可能没有用。我们可以使用以下两种方法找到分组数据的模式：

• 快速方法
• 使用公式

快速方法

这是查找分组数据模式的快速简便方法。在此方法中，我们对值进行分组，以查看哪个组比其他组有更多数字。数字更多的组包含模式。可以从该组中选择中间值作为模式。该方法不给出确切的模式值。我们将通过一个例子在这个部分的最后理解这个概念。

使用公式

在分组频率分布中，不可能通过查看频率来确定模式。在这里，我们可以找到一个频率最高的类，称为模式类。

我们可以使用以下公式找到分组数据的模式：

其中，

l: 模式类的下限。

f₀: 模式类之前的类的频率。

f₁: 模式类的频率。

f₂: 模式类之后的类的频率。

h: 类的区间大小。

让我们通过以下示例了解分组数据中的这些变量。

注意：上述公式给出了分组数据最准确的模式值。

模式的性质

• 它可以用于所有级别的数据（名义、顺序、区间和比例）。
• 一个数据集可以有多个模式。
• 在未分组的数据中很容易识别。
• 它与均值和中位数相同
• 模式不总是唯一的。
• 它可能不存在。
• 它不受极端大值或小值的影响。
• 它是平均值的快速近似。
• 它可以用定性和定量数据来定义。
• 它可以通过图形定位。
• 模式与均值和中位数之间存在关系，即：

• 在正态分布中，模式的值与均值和中位数相同。但在偏态分布中可能不同。

让我们看一些例子。

示例 1：5 名学生完成了一项测试。计算模式？

3.7 小时，5.3 小时，2.5 小时，4.1 小时，1.9 小时。

解决方案

首先，按学生所花费的时间排序。

1.9 小时，2.5 小时，3.7 小时，4.1 小时，5.3 小时。

计算每个数字的频率，我们得到每个数字只出现一次。

因此，给定时间没有模式。

示例 2：某城市气温在不同天数以摄氏度记录。找出气温的模式。

-5, 0, -3, 4, -12, 0, 5, 1, 0

解决方案

首先，按学生所花费的时间排序。

-12, -5, -3, 0, 0, 0, 1, 4, 5

计算每个数字的频率。

我们看到温度0出现了三次。

因此，模式是 0。

注意：不要混淆“无模式”和“0 模式”。两者不同，如我们在以上两个示例中所示。

示例 3：找出以下列表的模式

12, 34, 56, 12, 22, 90, 75, 12, 45, 55

解决方案

首先，将上述列表排序。

12, 12, 12, 22, 34, 45, 55, 56, 75, 90

计算每个数字的频率。

我们看到数字12出现了三次，而其他数字只出现了一次。

因此，给定列表的模式是 12。

示例 4：在以下列表中，给出了测试的观测值。找出观测值的模式。

32, 6, 96, 6, 23, 120, 45, 12, 45, 6, 12, 7, 3, 12

解决方案

首先，将上述列表排序。

3, 6, 6, 6, 7, 12, 12, 12, 23, 32, 45, 45, 96, 120

计算每个数字的频率。

我们看到数字6和12出现了三次，其余数字只出现了一次。所以，这个列表是双峰的。

因此，给定观测值的模式是 6 和 12。

示例 5：找出给定列表的模式

99, 76, 45, 55, 23, 45, 55, 12, 2, 55, 12, 44, 88, 12, 2, 6, 2

解决方案

首先，将上述列表排序。

2, 2, 2, 6, 12, 12, 12, 23, 44, 45, 45, 55, 55, 55, 76, 88, 99

计算每个数字的频率。

在上面的列表中，三个数字2、12和55出现了三次，其余数字只出现了一次。所以，这个列表是三峰的。

因此，给定列表的模式是 2、12 和 55。

示例 6：计算给定序列的模式

4, 9, 10, 20, 22, 25, 27, 31, 44, 42, 15, 2

解决方案

在上面的序列中，每个数字出现一次。所以，让我们对它们进行分组（区间为 10）。

区间20-29包含四个数字，所以这个组的频率是4，这是其他组中最高的频率。从区间 20-29，我们将选择25（组的中间值）作为模式。这是数据的近似模式。

示例 7：考虑下面给出的分组数据并找出模式。

解决方案

在上述数据中，我们可以看到区间 60-80（模式类）比其他区间具有最高的频率。我们上面学过的公式是：

l = 60

h = 80 - 60 = 20

f₀ = 41

f₁ = 66

f₂ = 35

将值代入上述公式，我们得到

分组数据的模式是 69。