Python中Kruskal算法的实现

Kruskal算法用于查找加权无向图的最小生成树。最小生成树是图中所有可能生成树中，边权之和最小的一棵。

该算法通过将图的所有边按权重从小到大排序，然后依次将边添加到最小生成树中，前提是添加该边不会形成环。这个过程一直持续到所有顶点都被连接起来。

Kruskal算法的步骤

以下是Kruskal算法的步骤

1. 将图中所有边按权重从小到大排序。
2. 创建一个新的空集合来表示最小生成树。
3. 遍历排序后的边列表中的每一条边。
4. 检查将边添加到最小生成树是否会形成环。如果不会，则将该边添加到最小生成树中。重复此过程，直到所有顶点都连接起来。

Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E是图中边的数量。这使得它成为查找大型图的最小生成树的一种非常高效的算法。

Python中Kruskal算法的实现

分步实现如下：

1. 我们定义一个Graph类，它有三个实例变量：vertices，即图中的所有顶点列表；edges，即图中的所有边列表；以及adjacency_list，一个表示图的邻接列表的字典。
2. 我们定义一个名为add_edge的方法来向图中添加边。此方法接受三个参数：u和v，它们是边所连接的顶点；以及weight，即边的权重。我们将边添加到edges列表，并将其添加到adjacency_list中。
3. 我们定义一个名为find_parent的方法，用于查找并查集（disjoint-set）数据结构中给定顶点i的父节点。图的连通元素是通过并查集数据结构来跟踪的。每个顶点最初都是自己的父节点，我们使用find_parent方法来查找属于i的连通分量的根节点。
4. 我们定义一个名为union的方法来合并并查集数据结构中的两个连通分量。union方法接受四个参数：parent，一个表示每个顶点父节点的字典；rank，一个表示每个顶点秩（rank）的字典；x和y，这是我们要合并其连通分量的顶点。我们使用find_parent方法查找属于x和y的连通分量的根节点，然后根据它们的秩合并这些分量。
5. 我们定义一个Kruskal方法来实现Kruskal算法。该方法初始化一个空的集合minimum_spanning_tree来存储最小生成树中的边。它还为并查集初始化了一个parent字典和一个rank字典。

代码

输出

{(1, 3, 1), (2, 3, 4), (0, 3, 3)}

输入的图如下：

• Kruskal算法是一种贪心算法，用于查找连通加权图的最小生成树。

这个集合表示输入图的最小生成树中的边。我们可以看到，最小生成树的总权重是1 + 3 + 5 = 9。

• 该算法通过按权重对图的边进行排序，然后从最小权重开始，依次将边添加到最小生成树中。
• 在将每条边添加到最小生成树时，都会检查以确保它不会形成环。如果这条边连接了已经属于同一连通分量的两个顶点，那么添加这条边就会形成一个环，该边将被丢弃。
• 只要图是连通的且边权重不重复，Kruskal算法总是能找到图的最小生成树。
• Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E是图中的边的数量。这是因为该算法需要按权重对边进行排序，这需要O(E log E)的时间，然后逐个处理每条边，这需要O(E)的时间。
• Kruskal算法的空间复杂度为O(V + E)，其中V是图的顶点的数量，E是图的边的数量。这是因为该算法需要存储图的边和邻接列表，以及用于跟踪连通分量的并查集数据结构。
• Kruskal算法可以使用优先队列来实现，以更有效地按权重对边进行排序。这会将算法的时间复杂度提高到O(E log V)，其中V是图的顶点数量。然而，空间复杂度仍为O(V + E)。
• 在某些情况下，给定的图可能存在多个最小生成树。Kruskal算法会找到其中一棵，但不一定是全部。

Kruskal算法常用于网络设计问题，例如设计通信网络或电力网。该算法也可以在python中使用优先队列来实现。

代码

输出

(2, 3, 1)
(0, 2, 3)
(0, 1, 2)
(1, 4, 3)

这些是上述相同图的最小生成树中的边。

在此实现中，我们使用优先队列来按权重排序边。我们将每条边及其权重作为优先级添加到优先队列中，这样当我们从队列中检索边时，总是先得到权重最小的边。之后，我们遍历优先队列中的边，只要它们不形成环，就逐一将它们添加到最小生成树中。我们使用并查集数据结构的find和union方法来跟踪图的连通分量，就像在之前的实现中一样。

要使用此实现，您可以创建一个Graph对象，使用add_edge方法向其添加边，然后调用kruskal方法来查找最小生成树。