骑士巡游问题

骑士之旅问题是计算数学和计算机科学领域中的一个经典问题。它是一个谜题，其中一个国际象棋中的马被放置在一个空的棋盘上，目标是让马在棋盘上的每个方格上只移动一次，而不重复访问任何方格。如果马最终停留在出发的方格上，则称之为封闭的旅程。

该问题可以通过几种不同的算法来解决，包括深度优先搜索、广度优先搜索和回溯。解决骑士之旅问题最著名的算法是沃恩斯多夫算法，它基于马应该始终移动到可用移动次数最少的方格的原理。

骑士之旅问题已被证明没有通用解，并且它被认为是NP-hard问题。然而，对于棋盘上某些起始位置可以找到解决方案。例如，如果马从棋盘的角落开始，总能找到解决方案。另一方面，如果马从中心方格开始，可能找不到解决方案。

骑士之旅问题有许多有趣的变体，例如：

• 非标准棋盘：棋盘可以是任何大小和形状，不一定是正方形。
• 多步骑士之旅：马可以在恰好 n 步内移动到棋盘上的任何方格。
• 马的图：棋盘被表示为一个图，棋盘上的每个方格是一个顶点，马的每一次移动对应图中的一条边。

该问题在计算机科学和数学中有许多实际应用，例如：

1. 图论
2. 组合博弈论
3. 计算机图形学
4. 人工智能
5. 机器人技术

总的来说，骑士之旅问题是一个具有挑战性的问题，需要结合数学分析、算法设计和计算能力才能解决。

可以用来解决骑士之旅问题的一种算法是沃恩斯多夫算法。该算法基于马应该始终移动到可用移动次数最少的方格的原理。这样做的想法是，通过移动到选择较少的方格，马不太可能陷入死胡同。算法过程如下：

步骤 1：首先，从国际象棋棋盘上的任意方格开始。例如，我们可以从左上角的(0,0)开始。

步骤 2：将马移动到一个未访问过的、可用移动次数最少的方格。如果存在平局，则选择平局的任何方格。

例如，在起始位置(0,0)，马有 2 次可用移动(1,2)和(2,1)。我们选择方格(1,2)进行移动。

步骤 3：标记该方格为已访问。这意味着方格(1,2)现在被标记为已访问，马不能再回到那里。

步骤 4：重复步骤 2 和 3，直到棋盘上的所有方格都被访问。

例如，从方格(1,2)，马可以移动到方格(3,1)，这是一个未访问过的、可用移动次数最少的方格。

步骤 5：如果所有方格都已访问，则骑士之旅完成。如果未完成，则回溯到最后一个有可用移动的方格并继续搜索。

例如，如果马到达一个点，它无法移动到任何未访问过的方格，这意味着它已经到达了一个死胡同，算法需要回溯到最后一个有可用移动的方格。

需要注意的是，该算法不能保证为棋盘上的每个起始位置找到解决方案，并且如果棋盘不是完全连通的，它可能会陷入无限循环。但是，它可以用于为某些起始位置找到解决方案，并且还可以作为其他更高级的骑士之旅问题解决方案算法的基础。

此外，还有不同的变体可以使算法更有效率和更快，例如：

• 沃恩斯多夫规则与启发式函数
• 沃恩斯多夫规则的随机版本
• 带剪枝的回溯
• 遗传算法

这些是改进算法并使其更有效率的一些方法，但它们比基本的沃恩斯多夫算法复杂得多。需要注意的是，该算法不能保证为棋盘上的每个起始位置找到解决方案，并且如果棋盘不是完全连通的，它可能会陷入无限循环。但是，它可以用于为某些起始位置找到解决方案，并且还可以作为其他更高级的骑士之旅问题解决方案算法的基础。

Python 实现代码

使用回溯算法实现骑士之旅问题的 Python 示例代码

输出

 
0 59 38 33 30 17 8 63 
37 34 31 60 9 62 29 16
58 1 36 39 32 27 18 7
35 48 41 26 61 10 15 28
42 57 2 49 40 23 6 19
47 50 45 54 25 20 11 14
56 43 52 3 22 13 24 5
51 46 55 44 53 4 21 12
Solution Found!

所遵循的技术可以描述为：

如果骑士访问了棋盘上的所有单元格，则打印解决方案。

否则

• 将以下移动之一添加到解决方案向量中，然后递归确定该移动是否会导致解决方案。骑士的移动限制为八种。在此阶段，我们选择八种移动中的一种。
• 从解决方案向量中移除上一阶段选择的移动，如果它没有导致解决方案，则尝试其他选项。
• 如果所有选项都不成功，则返回 false（返回 false 将移除递归中先前插入的项；如果初始递归调用返回 false，则表示“不存在解决方案”）。

使用回溯算法实现骑士之旅问题的Java 实现

输出

0 59 38 33 30 17 8 63 
37 34 31 60 9 62 29 16 
58 1 36 39 32 27 18 7 
35 48 41 26 61 10 15 28 
42 57 2 49 40 23 6 19 
47 50 45 54 25 20 11 14 
56 43 52 3 22 13 24 5 
51 46 55 44 53 4 21 12

solveKT() 函数检查移动到国际象棋棋盘上的某个位置是否安全；如果安全，则更新马的位置并将移动编号分配给棋盘上的该位置。

时间复杂度可以表示为：

最坏运行时间为O(8^(N^2))，因为有N^2 个单元格，并且每个单元格最多可以选择8 种潜在移动。算法实现需要大约O(N^2)的辅助空间。

该问题是NP问题，具有许多可能性，因此并非所有情况都有解决方案，并且找到解决方案的时间也将取决于马的初始位置和棋盘的大小。