Python - 统计中的泊松离散分布

2025年3月17日 | 阅读 12 分钟

统计学中的基本概念之一是随机变量及其分布的研究。本教程将帮助您全面理解泊松离散分布，这是统计学/概率论的关键组成部分，并最终学习如何使用 Python 计算其各种属性。

现在，让我们从理解涉及的随机变量术语开始讨论。

随机变量

随机变量是随机实验的结果。它是一个数值量，其值属于随机实验或事件的可能结果集。

例如

抛硬币 - 考虑一个公平的硬币，我们想抛掷它，随机变量“X”表示抛掷三次公平硬币时获得的正面数。X 的可能值是 0、1、2 或 3，具体取决于抛硬币时获得的正面数。
掷骰子：让我们定义一个随机变量“Y”为两个公平的六面骰子点数之和。Y 的值可以从 2（掷出两个 1）到 12（掷出两个 6）不等。

随机变量可分为两类

离散随机变量 - 只能表示有限数量的值。上面给出的例子是离散随机变量的例子。
连续随机变量 - 可以在范围内表示任何可能的值。例如：
- 个人身高：考虑一个随机变量“H”，它代表人群中的身高。身高可以在一定范围内取任何值（例如，在 4 英尺到 7 英尺之间），因此我们可以说“H”是一个连续随机变量。
- 温度值：让我们定义一个随机变量“T”，表示特定位置的温度（以摄氏度为单位）。温度可以在一定范围内连续变化，因此“T”是一个连续随机变量。

泊松离散分布

泊松分布是一种离散概率分布，用于表示在固定时间或空间间隔内出现给定数量事件的概率。

离散概率分布是只能取可数个值的随机变量的概率分布。

- 维基百科

它通常用于描述罕见的随机事件，例如呼叫中心在一小时内接到的电话数量、交叉路口一天内的事故数量或每小时收到的电子邮件数量。

泊松分布的关键特征

事件是罕见且随机的。
事件彼此独立。
我们假设平均发生率在整个区间内是恒定的。
在无限小区间内发生多个事件的概率可以忽略不计。

概率质量函数

概率质量函数为随机变量的每个可能值分配一个概率。

泊松分布的概率质量函数 (PMF) 由下式给出

Python - Poisson Discrete Distribution in Statistics

其中

X 是表示事件数量的随机变量。
k 表示发生次数（非负整数），(k = 0, 1, 2, …)
λ (lambda) 是平均发生率。
e = 2.71828，欧拉数

您可能会在不同来源上找到表示 pmf 公式的不同符号，因此请勿混淆。

让我们通过几个例子来探讨泊松分布。

示例 1：呼叫中心的电话

假设一个呼叫中心平均每小时接到 5 个电话。下一个小时接到正好 3 个电话的概率是多少？

这里，λ = 5（每小时平均电话数量）和 k = 3（期望的电话数量）。将这些值代入泊松 PMF 公式

因此，下一个小时接到正好 3 个电话的概率约为 0.14037，或约 14.04%。

如何在 Python 中使用泊松分布计算概率？

要使用泊松分布计算概率，我们有 'scipy.stats.poisson.pmf' 函数，它是 SciPy 库的一部分。此函数用于计算从分布中观察到特定值“k”的概率。

语法

From scipy import stats
Stats.poisson.pmf(k, mu, loc=0)

参数

k - 这是我们要计算 PMF 的值。
mu：这是泊松分布的平均发生率（也称为 lambda 参数）。
loc - 这是一个可选参数，默认为 0。它会使分布偏移给定的值。

在上面的例子中，已知平均电话数量=每小时 5 个，我们需要找到下一个小时正好接到三个电话的概率。

from scipy.stats import poisson

mu = 5  # Average rate of occurrence
k = 3  # Value for which to calculate the PMF

pmf_value = poisson.pmf(k, mu)
print("Poisson PMF:", pmf_value)

输出

Poisson PMF: 0.1403738958142805

上述输出与我们手动计算的结果相同。

示例 2：十字路口的事故

假设一个十字路口平均每天发生 2 起事故。一天内至少发生 4 起事故且最多发生 6 起事故的概率是多少？

这里，λ = 2，我们要找 P(X ≥ 4 且 X<=6)，这是发生 4、5 和 6 起事故的概率之和。计算每种概率并将其相加

P(X = 4, λ = 2) = (2^4 * e^(-2)) / 4! ? 0.0902
P(X = 5, λ = 2) = (2^5 * e^(-2)) / 5! ? 0.0361
P(X = 6, λ = 2) = (2^6 * e^(-2)) / 6! ? 0.0120
Summing these probabilities:
P(X ≥ 4 and X <= 6) ? 0.0902 + 0.0361 + 0.0120 ? 0.1383

因此，一天内至少发生 4 起事故且最多发生 6 起事故的概率约为 0.1383，或约 13.83%。

Python 代码

from scipy.stats import poisson

mu = 2  # Average rate of occurrence
pmf_value = 0

# Value for which to calculate the PMF
for k in range(4, 7):
    pmf_value += poisson.pmf(k, mu)
print("Poisson PMF:", pmf_value)

输出

Poisson PMF: 0.13834273397520408

如何生成泊松分布？

方法 1 - 使用 NumPy

让我们创建一个 λ = 3 的随机（1 x 15）分布。

from numpy import random

# Create a distribution of size = 15,
# with average occurrences of event = 3
x = random.poisson(mu=3, size=15)

print("Poisson Distribution:", x)

在这里，我们从 NumPy 模块导入了 random 方法。

此行返回一个列表，其中包含来自泊松分布的 15 个随机样本。我们传入 lam=3，这意味着事件的平均发生次数是 3。

数组中的每个数字表示在固定时间间隔内发生的事件数量。

运行程序时，我们得到 **输出：**

Poisson Distribution: [4 1 7 2 3 4 4 3 3 7 7 5 2 2 0]

在此输出中，每个数字表示在固定时间间隔内发生的事件数量，并且该分布反映了平均发生率为 3 的泊松分布的特征。

方法 2 - 使用 SciPy

我们可以使用 **poisson.rvs(mu, size)** 来生成泊松分布。

from scipy.stats import poisson

mu = 3  # Average rate of occurrence

# Generate a Poisson distribution of size = 15
x = poisson.rvs(mu, size=15)
print("Poisson Distribution:", x)

输出

Poisson Distribution: [8 2 2 4 2 2 3 3 1 3 3 2 0 1 3]

如何绘制泊松分布图？

要绘制泊松分布图，我们首先需要创建一个样本。这里，我们使用 scipy.stats.poisson.rvs() 方法从泊松分布生成随机样本，并使用 matplotlib 库绘制直方图。

from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

# Generating a Poisson distribution of sample size = 50000
# Let's say the distribution is about the number of accidents per day in a city
x = poisson.rvs(mu=3, size=5000)

# Plot a histogram of the Poisson distribution
plt.hist(x, color='red', edgecolor='black')
plt.title(f"Poisson Distribution Plot for ? = 3" )
plt.xlabel("Number of Accidents per day")
plt.ylabel("Frequency")
plt.show()

输出

运行此代码时，它将生成一个直方图，表示从平均值为 3 的泊松分布中抽取的 5000 个随机数的分布。直方图显示了在指定范围内不同值出现的频率，帮助我们可视化泊松分布的形状。

计算每个样本值的概率

from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

# Generating a Poisson distribution
x = poisson.rvs(mu=3, size=5000)
prob_dist = [0]*5000

# Calculating probabilities of each sample value
for i in range(5000):
    prob_dist[i] = poisson.pmf(k = x[i], mu = 3)

# Plot a bar of Poisson distribution
plt.bar(x, prob_dist, color='red', edgecolor='black')
plt.title(f"Poisson Distribution Plot for ? = 3" )
plt.xlabel("Number of Accidents per day")
plt.ylabel("Probability")
plt.show()

输出

说明

在上面的代码中，我们首先使用平均值为 3 和样本大小为 5000 的泊松分布创建了一个随机样本。

我们创建了一个列表 `prob_dist` 来存储样本中每个值的概率。

然后，我们使用一个 for 循环，计算数组 'x' 中每个值的概率质量函数 (PMF)。

for i in range(5000):
     prob_dist[i] = poisson.pmf(k = x[i], mu = 3)

最后，我们显示条形图，显示给定参数的泊松分布。该图表示在假设平均每天发生 3 起事故（λ = 3）的情况下，每天发生不同数量事故的概率。

我们也可以绘制具有不同平均值的泊松分布。

绘制 λ = [2, 3, 4, 5] 的泊松分布

from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt

# Different values of ?
? = [2, 3, 4, 5]

# Create a 2x2 grid of subplots
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))

# Flatten the axs array for easier indexing
axs = axs.ravel()

for j, mu in enumerate(?):
    # Generating a Poisson distribution
    x = poisson.rvs(mu=mu, size=5000)
    
    # Calculate the probabilities of each sample value
    prob_dist = [poisson.pmf(k=i, mu=mu) for i in range(0, max(x) + 1)]

    # Plot a bar of Poisson distribution
    axs[j].bar(range(len(prob_dist)), prob_dist, color='red', edgecolor='black')
    axs[j].set_title(f"Poisson Distribution for ? = {mu}")
    axs[j].set_xlabel("Number of Accidents per day")
    axs[j].set_ylabel("Probability")

# Adjust layout to prevent overlapping
plt.tight_layout()

# Show the subplots
plt.show()

输出

说明

在上面的代码中

我们使用 plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) 创建了一个 2x2 的子图网格。这种网格布局允许我们拥有四个独立的子图。
我们使用 enumerate(λ) 来迭代 λ 的值以及子图网格中的相应位置。
在循环内部，我们为每个 mu 值计算概率分布，并在相应的子图中创建条形图。
我们使用 axs[j] 来访问网格中的当前子图。
我们使用 plt.tight_layout() 来确保子图正确间隔且不重叠。

它为不同的 λ 值生成了四个不同的泊松分布子图。

累积分布函数 (CDF)

累积分布函数 (CDF) 描述了随机变量取小于或等于特定值的概率。

数学上，随机变量 X 的累积分布函数定义为

其中

F(x) 是随机变量 X 的累积分布函数 (CDF)。
x 是我们要计算累积概率的特定值。
P(X ≤ x) 是随机变量 X 取小于或等于 x 的值的概率。

我们可以利用泊松 CDF 函数来计算累积概率。

问。一个电子邮件服务器平均每小时收到 6 封电子邮件。下一个小时收到少于 5 封电子邮件的概率是多少？

答。

from scipy.stats import poisson

# Average rate of emails (?)
lambda_value = 6

# Initial Probability set to 0
pmf_value = 0

# Method 1: Calculate the probability using the Poisson PMF function P(X < 5)
for i in range(5):
    pmf_value += poisson.pmf(k=i, mu=lambda_value)

print(f"Probability using PMF P(X < 5) = {pmf_value}")

# Method 2: Calculate the CDF (Cumulative Distribution Function)
cdf_value = poisson.cdf(k=4, mu=lambda_value)
print(f"Cumulative Probability of X < 5 = {cdf_value}")

输出

Probability using PMF P(X < 5) = 0.2850565003166312
Cumulative Probability of X < 5 = 0.2850565003166312

在此代码中：

我们将 k 设置为 4，因为我们要查找收到少于 5 封电子邮件的概率，这对应于泊松随机变量 X 小于 5。

方法 1：我们使用 poisson.pmf() 计算收到电子邮件的概率（P(X < 5)），方法是加总 X = 0, 1, 2, 3, 4 的概率。
方法 2：我们使用 poisson.cdf(k - 1, lambda_value) 计算收到最多 4 封电子邮件（P(X < 5)）的 CDF。

最终结果代表下一个小时收到少于 5 封电子邮件的概率。

以下是一些您可以解决的练习题。我们鼓励您在继续查看给定解决方案之前独立解决问题。

问。 1 一个工厂平均每周生产 10 件次品。一周内正好有 8 件次品的概率是多少？

解。

平均发生率，λ = 10

计算 pmf 的值，k = 8

from scipy.stats import poisson

mu = 10  # Average rate of occurrence
k = 8  # Value for which to calculate the PMF

pmf_value = poisson.pmf(k, mu)
print("Poisson PMF:", pmf_value)

输出

Poisson PMF: 0.11259903214902009

问。 2 一个网站平均每小时有 500 次访问。在随机选择的一个小时内访问次数超过 600 次的概率是多少？

解。

平均发生率，λ = 500

计算 pmf 的值，k = 600

from scipy.stats import poisson

mu = 500  # Average rate of occurrence
k = 600  # Value for which to calculate the PMF

pmf_value = poisson.pmf(k, mu)
print("Poisson PMF:", pmf_value)

输出

Poisson PMF: 1.3566714436562893e-06

问。 3 一家餐厅在午餐时间平均供应 15 份素食餐。午餐时间供应正好 10 份素食餐的概率是多少？

解。

平均发生率，λ = 500

计算 pmf 的值，k = 600

from scipy.stats import poisson

mu = 15  # Average rate of occurrence
k = 10  # Value for which to calculate the PMF

pmf_value = poisson.pmf(k, mu)
print("Poisson PMF:", pmf_value)

输出

Poisson PMF: 0.04861075082960534

问。一家汽车租赁公司平均每天租出 4 辆豪华车。某一天租出少于 3 辆豪华车的概率是多少？

解。

平均汽车数量，λ = 4

计算 cdf 的汽车数量，k < 3

from scipy.stats import poisson

mu = 4  # Average rate of occurrence
k = 3  # Value for which to calculate the CDF

cdf_value = poisson.cdf(k-1, mu)
print("Poisson CDF:", cdf_value)

输出

Poisson CDF: 0.23810330555354436

问。 5 一家零售店平均每小时有 12 位顾客。下一个小时有超过 15 位顾客的概率是多少？

解。

平均顾客数量 = 12

要计算 CDF 的顾客数量，k > 15

from scipy.stats import poisson

mu = 12  # Average rate of occurrence
k = 15  # Value for which to calculate the CDF

# Probability of receiving email <= 15
cdf_value = poisson.cdf(k-1, mu)
print("Poisson CDF of attending customers <= 15:", cdf_value)

# Probability of receiving email > 15
cdf_value = 1 - cdf_value
print("Poisson CDF of attending customers > 15:", cdf_value)

输出

Poisson CDF of attending customers <= 15: 0.7720245323035447
Poisson CDF of attending customers > 15: 0.22797546769645527

总结

随机变量：随机变量是随机实验的结果。它是一个数值量，其值属于随机实验或事件的可能结果集。
泊松离散分布：泊松分布是一种离散概率分布，用于模拟在固定时间或空间间隔内出现特定数量事件的概率。
概率质量函数 (PMF)：概率质量函数为随机变量的每个可能值分配一个概率。
累积分布函数 (CDF)：累积分布函数 (CDF) 描述了随机变量取小于或等于特定值的概率。

在整篇文章中，我们提供了使用泊松 PMF 和 CDF 函数计算概率的 Python 代码示例。这些示例说明了如何处理泊松分布并将其应用于现实场景。

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随机变量

泊松离散分布

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如何在 Python 中使用泊松分布计算概率？

如何生成泊松分布？

方法 1 - 使用 NumPy

方法 2 - 使用 SciPy

如何绘制泊松分布图？

计算每个样本值的概率

绘制 λ = [2, 3, 4, 5] 的泊松分布

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