NCERT 10年级数学第10章解决方案：圆

练习 10.1

1.一个圆可以有多少条切线？

解决方案

一个圆由无数个到其中心的距离相等的点组成。由于点的数量是无限的，因此通过这些点的切线数量也将是无限的。因此，一个圆有无限条切线。

2.填空

1. 圆的切线与圆相交于_点（个）。
2. 与圆相交于两点的直线称为_。
3. 一个圆最多可以有_条平行切线。
4. 切线与圆的公共点称为_。

解决方案

1. 圆的切线与圆相交于**一个**点（个）。
2. 与圆相交于两点的直线称为**割线**。
3. 一个圆最多可以有**两条**平行切线。
4. 切线与圆的公共点称为**切点**。

3.半径为5厘米的圆在点P处的切线PQ与过圆心O的直线在点Q相交，使得OQ = 12厘米。PQ的长度为

（A）12厘米（B）13厘米（C）8.5厘米（D）√119厘米。

解决方案

画出图形后，可以观察到OP垂直于PQ，PQ是一条切线。

根据POQ中的勾股定理，我们得到

OQ² = OP² + PQ²

12² = 5² + PQ²

144 = 25 + PQ²

PQ² = 119

PQ = √119 厘米

因此，(D) 是正确答案。

4.画一个圆和两条与给定直线平行的直线，其中一条是圆的切线，另一条是圆的割线。

解决方案

练习 10.2

在问题1到3中，选择正确的选项并给出理由。

1.从点Q出发，圆的切线长度为24厘米，Q到圆心的距离为25厘米。圆的半径为

（A）7厘米（B）12厘米（C）15厘米（D）24.5厘米

解决方案

设切线与圆相交于点P。

POQ将形成一个直角三角形，因为圆的切线垂直于与它们相交的半径。

根据POQ中的勾股定理，我们得到

OQ² = OP² + PQ²

（25）² = OP² + （24）²

OP² = 625 - 576

OP² = 49

OP = 7 厘米

因此，(A)是正确选项。

2.图10.11中，如果TP和TQ是圆心为O的圆的两条切线，使得∠POQ = 110°，则∠PTQ等于

（A）60°（B）70°（C）80°（D）90°

解决方案

因为PT和QT是切线，OP和OQ是圆的半径。因此，∠OPT = ∠OQT = 90°，因为圆的切线垂直于与它们相交的半径。

POQT是四边形。因此，

∠OPT + ∠OQT + ∠POQ + ∠PTQ = 360°

90° + 90° + 110° + ∠PTQ = 360°

290° + ∠PTQ = 360°

∠PTQ = 70°

因此，(B) 是正确答案。

3.如果从点P到圆心为O的圆的切线PA和PB相互之间的夹角为80°，则∠POA等于

（A）50°（B）60°（C）70°（D）80°

解决方案

因为PB和PA是切线，OA和OB是圆的半径。因此，∠OAP = ∠OBP = 90°，因为圆的切线垂直于与它们相交的半径。

POQT是四边形。因此，

∠OAP + ∠OBP + ∠AOB + ∠APB = 360°

90° + 90° + 80° + ∠AOB = 360°

260° + ∠AOB = 360°

∠AOB = 100°

在△OAP和△OBP中

AP = BP (因为从同一点引出的切线长度相等)

OA = OB (圆的半径)

OP = OP (公共边)

因此，根据SSS全等判别法，△OPB ≅ △OPA。

根据c.p.c.t.，∠POB = ∠POA

∠AOB = ∠POA+∠POB

2 (∠POA) = ∠AOB

∠POA = ∠AOB/2

∠POA = 100°/2 = 50°

因此，(A) 是正确答案。

4.证明圆的直径两端点处的切线是平行的。

解决方案

设有一个圆，圆心为O，直径为AB。直径的端点分别与切线PQ和RS相交。

因为OA和OB是圆的半径。因此，OA和OB分别垂直于PQ和RS。

∠OBR = ∠OAQ 和 ∠OBS = ∠OAP (均为90°)

由于内错角相等。因此，PQ和RS互相平行。

因此，证明完毕。

5.证明圆的切线在切点的垂线经过圆心。

解决方案

设有一个圆，圆心为O。在圆上的点P处画一条切线PQ。现在画RP，它垂直于PQ。

因为P在圆上。因此，圆将有一条半径OP。

我们知道圆的半径垂直于其切点处的切线。

因此，

∠OPQ = 90°

另外，∠RPQ = 90°，因为RP垂直于PQ。

这只有在OP位于RP上时才可能。

因此，圆的切线在切点的垂线经过圆心。

6.从距离圆心5厘米的点A到圆的切线长度为4厘米。求圆的半径。

解决方案

设所需圆的圆心为O。设OP为半径，AP为切线。

我们知道圆的半径垂直于切点处的切线。因此，OPA是直角三角形。

根据OPA中的勾股定理，我们得到

OA² = OP² + AP²

5² = OP² + 4²

25 = OP² + 16

OP² = 9

OP = 3 厘米

因此，圆的半径为3厘米。

7.两个同心圆的半径分别为5厘米和3厘米。求大圆中与小圆相切的弦的长度。

解决方案

设两个圆有公共圆心O。设AB为大圆中与小圆在点P处相切的弦。

AB是小圆的切线，因此，OP垂直于AB。

根据OPA中的勾股定理，我们得到

OA² = OP² + AP²

5² = 4² + AP²

AP² = 25 - 16

AP² = 9

AP = 3 厘米

根据OPB中的勾股定理，我们得到

OB² = OP² + BP²

5² = 4² + BP²

BP² = 25 - 16

BP² = 9

BP = 3 厘米

AB = AP + BP = 3 + 3 = 6。

因此，所求弦的长度为6厘米。

8.画一个圆外切四边形ABCD（见图10.12）。证明AB + CD = AD + BC。

解决方案

我们知道从圆外一点到圆的切线长度相等。

因此，我们可以说

DR = DS

AP = AS

BP = BQ

CR = CQ

将以上关系相加

DR + AP + BP + CR = DS + AS + BQ + CQ

AB + CD = AD + BC

因此，证明完毕。

9.图10.13中，XY和X?Y?是圆心为O的圆的两条平行切线，另一条切线AB在点C处与XY相交于A，与X?Y?相交于B。证明∠AOB = 90°。

解决方案

我们需要在给定的图形中连接OC。

OC是圆的半径，而AB是通过C的切线。因此，OC垂直于AB。

类似地，OP和OQ分别垂直于XY和X'Y'。

在△OPA和△OCA中

OP = OC (同圆的半径)

AO = AO (公共边)

AP = AC (从同一点引出的切线)

因此，根据SSS全等判别法，△OPA ≅ △OCA。

类似地，我们也可以证明△OQB ≅ △OCB。

现在，根据c.p.c.t.，我们得到

∠POA = ∠COA

∠QOB = ∠COB

POQ是一条直线，所以

∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°

2∠COA + 2∠COB = 180°

∠COA + ∠COB = 90°

∠AOB = 90°

因此，证明完毕。

10.证明从圆外一点引出的两条切线之间的夹角与连接切点和圆心的线段所夹的角互补。

解决方案

设有一个圆，圆心为O，从圆外一点P引两条切线PA和PB。**

OA和OB是圆的半径，它们分别与切线PA和PB相切。因此，PA垂直于OA，PB垂直于OB。所以，

∠OAP = 90° 和 ∠OBP = 90°

AOBP是四边形，所以其所有角度的总和必须是360°。

∠OAP + ∠APB + ∠OBP + ∠AOB = 360°

90° + ∠APB + 90° + ∠AOB = 360°

∠APB + ∠AOB + 180° = 360°

∠APB + ∠AOB = 180°

因此，证明了从圆外一点引出的两条切线之间的夹角与连接切点和圆心的线段所夹的角互补。

11.证明圆外切平行四边形是菱形。

解决方案

设ABCD是圆心为O的圆的外切平行四边形。圆分别与平行四边形的边AB、BC、CD和AD上的点P、Q、R和S相切。

我们知道从圆外一点引出的切线长度相等。因此，

AP = AS，

BP = BQ，

CR = CQ，

DR = DS

将所有上述方程相加

AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS

AB + CD = AD + BC

我们知道平行四边形的对边相等。因此，

AB + AB = AD + AD

2AB = 2AD

AB = AD

这意味着

CD = AB = AD = BC

由于平行四边形的所有边都相等。因此，它是一个菱形。

因此，证明完毕。

12.画一个三角形ABC，使其圆半径为4厘米，使得BC被切点D分成BD和DC两段，长度分别为8厘米和6厘米（见图10.14）。求边AB和AC的长度。

解决方案

连接圆和三角形的切点，在边AB和AC上的点分别为OE和OF。

我们知道从圆外一点引出的切线长度相等。因此，

CF = CD = 6 厘米，

AE = AF，

BE = BD = 8 厘米

a = AB = BE + AE = 8 + AE

b = BC = BD + CD = 6 + 8 = 14 厘米

c = AC = CF + AF = 6 + AE

三角形ABC的半周长 = s = (AB + BC + AC)/2

= (8 + AE + 14 + 6 + AE)/2 = (28 + 2AE)/2

= 14 + AE

应用ABC的赫伦公式

ABC的面积 = √s(s - a)(s - b)(s - c)

= √ (14 + AE)(14 + AE - (8 + AE))(14 + AE - 14)(14 + AE - (6 + AE))

= √ (14 + AE)(14 + AE - 8 - AE)(AE)(14 + AE - 6 - AE)

= √ (14 + AE)(6)(AE)(8)

= √ (14 + AE)(48AE)

我们也知道，

ABC的面积 = Ar (AOF) + Ar (AOE) + Ar (BOE) + Ar (BOD) + Ar (COD) + Ar (COF)

在△AOF和△AOE中

OF = OE (同圆的半径)

AO = AO (公共边)

AF = AE (从同一点引出的切线)

因此，根据SSS全等判别法，△AOF ≅ △AOE。

类似地，我们也可以证明△BOE ≅ △BOD和△COD ≅ △COF。

这意味着

ABC的面积 = Ar (AOF) + Ar (AOE) + Ar (BOE) + Ar (BOD) + Ar (COD) + Ar (COF)

= 2 � [Ar (AOF) + Ar (BOD) + Ar (COD)]

= 2 � [� (OF)(AF) + � (BD)(OD) + � (CD)(OD)]

= 2 � � [4AE + 4(8) + 4(6)]

= 4AE + 32 + 24 = **4AE + 56**

现在，

4AE + 56 = √ (14 + AE)(48AE)

两边平方，

（4AE + 56）² = （14 + AE）（48AE）

（4（14 + AE））² = （14 + AE）（48AE）

16(14 + AE) = 48AE

14 + AE = 3AE

14 = 2AE

AE = 7 厘米

因此，边AB = 8 + 7 = 15厘米，AC = 7 + 6 = 13厘米

13.证明圆外切四边形的对边在圆心处所夹的角互补。

解决方案

设ABCD是圆心为O的圆的外切平行四边形。圆分别与平行四边形的边AB、BC、CD和AD上的点P、Q、R和S相切。

AP = AS (从同一点引出的切线)

OA = OA (公共边)

OP = OS (圆的半径)

所以，根据SSS全等△OAP ≅ △OAS。

这意味着，∠1 = ∠8 (由c.p.c.t)

类似地，我们也可以证明

∠4 = ∠5

∠2 = ∠3

∠6 = ∠7

将所有获得的方程相加

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°

2∠1 + 2∠2 + 2∠5 + 2∠6 = 360°

2(∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°

∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6 = 180°

∠AOB + ∠COD = 180°

类似地，也可以证明∠BOC + ∠AOD = 180°

因此，证明了圆外切四边形的对边在圆心处所夹的角互补。