12 年级数学第 10 章：向量代数的 NCERT 解决方案

2025年2月13日 | 阅读 42 分钟

练习 10.1

1. 以图形方式表示向北偏东 30° 方向位移 40 公里。

解决方案

步骤 1：绘制北、南、东、西方向。

NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

步骤 2：绘制一条 OA 线，方向为北偏东 30°。

步骤 3：定义比例尺为 10 公里 = 1 厘米。在 OA 线上标记 40 公里。

因此，OA 是所需的向量。

2. 将以下度量分类为标量和向量。

(i) 10 公斤 (ii) 向西北方向 2 米 (iii) 40°

(iv) 40 瓦 (v) 10^-19 库仑 (vi) 20 米/秒²

解决方案

(i) 10 公斤只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(ii) 向西北方向 2 米包含大小和方向。因此，它是向量。

(iii) 40° 只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(iv) 40 瓦只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(v) 10^-19 库仑只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(vi) 20 米/秒² 包含大小和方向。因此，它是向量。

3. 将以下度量分类为标量和向量。

(i) 周期 (ii) 距离 (iii) 力

(iv) 速度 (v) 功

解决方案

(i) 周期只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(ii) 距离只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

(iii) 力包含大小和方向。因此，它是向量。

(iv) 速度包含大小和方向。因此，它是向量。

(v) 功只包含大小，没有方向。因此，它是标量。

4. 在图 10.6（一个正方形）中，识别以下向量。

(i) 共起点向量

(ii) 相等向量

(iii) 共线但不相等向量

解决方案

(i) a⃗ 和 d⃗ 从同一点开始。因此，a⃗ 和 d⃗ 是共起点向量。

(ii) d⃗ 和 b⃗ 大小相等，因为它们是正方形的边，并且它们具有相同的方向。因此，d⃗ 和 b⃗ 是相等向量。

(iii) a⃗ 和 c⃗ 互相平行，但方向相反，因此不相等。因此，a⃗ 和 c⃗ 是共线但不相等向量。

5. 回答以下问题，判断对错。

(i) a⃗ 和 -a⃗ 是共线的。

(ii) 两个共线向量的大小总是相等的。

(iii) 两个大小相同的向量是共线的。

(iv) 两个大小相同且共线的向量是相等的。

解决方案

(i) a⃗ 和 -a⃗ 方向相反，但它们仍然互相平行。因此，a⃗ 和 -a⃗ 是共线的。

因此，给定陈述为真。

(ii) 两个共线向量总是互相平行，但它们可能具有相反的方向和不同的大小。因此，两个共线向量的大小不总是相等的。

因此，给定陈述为假。

(iii) 两个大小相同的向量不一定互相平行。因此，两个大小相同的向量不总是共线的。

因此，给定陈述为假。

(iv) 两个共线向量总是互相平行，即使它们大小相同，它们也可能具有相反的方向。因此，两个大小相同且共线的向量不总是相等的。

因此，给定陈述为假。

练习 10.2

1. 计算以下向量的大小

a⃗ = î + ĵ + k; b⃗ = 2î - 7ĵ - 3k̂; c⃗ = î/√3 + ĵ/√3 - k̂/√3

解决方案

a⃗ = î + ĵ + k

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(1² + 1² + 1²)

= √3

b⃗ = 2î - 7ĵ - 3k̂

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(2² + (-7)² + (-3)²)

= √(4 + 49 + 9)

= √62

c⃗ = î/√3 + ĵ/√3 - k̂/√3

c⃗ 的大小 = √((1/√3)² + (1/√3)² + (-1/√3)²)

= √(1/3 + 1/3 + 1/3)

√(3/3)

= √1

= 1

2. 写出两个具有相同大小的不同向量。

解决方案

考虑两个不同的向量 a⃗ 和 b⃗。

a⃗ = î - ĵ - 2k̂

b⃗ = 2î + ĵ + k̂

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(1² + (-1)² + (-2)²)

= √(1 + 1 + 4)

= √6

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(2² + 1² + 1²)

= √(4 + 1 + 1)

= √6

因此，两个不同的向量 a⃗ 和 b⃗ 具有相同的大小。

3. 写出两个具有相同方向的不同向量。

解决方案

考虑两个不同的向量 a⃗ 和 b⃗。

a⃗ = î + ĵ + 2k̂

b⃗ = 2î + 2ĵ + 4k̂

a⃗ 的方向余弦为

l = 1/√(1² + 1² + 2²) = 1/√(1 + 1 + 4) = 1/√6

m = 1/√(1² + 1² + 2²) = 1/√(1 + 1 + 4) = 1/√6

n = 2/√(1² + 1² + 2²) = 2/√(1 + 1 + 4) = 2/√6

b⃗ 的方向余弦为

l = 2√(2² + 2² + 4²) = 2√(4 + 4 + 16) = 2/√24 = 1/√6

m = 2√(2² + 2² + 4²) = 2√(4 + 4 + 16) = 2/√24 = 1/√6

n = 4√(2² + 2² + 4²) = 4√(4 + 4 + 16) = 4/√24 = 2/√6

因此，两个不同的向量 a⃗ 和 b⃗ 具有相同的方向。

4. 求 x 和 y 的值，使得向量 2î + 3ĵ 和 xî + yĵ 相等。

解决方案

已知这两个向量相等。因此，

2î + 3ĵ = xî + yĵ

比较对应分量，

2 = x

3 = y

5. 求起点为 (2, 1) 终点为 (-5, 7) 的向量的标量分量和向量分量。

解决方案

设起点为 A (2, 1)，终点为 B (-5, 7)。

AB⃗ = -5î + 7ĵ - (2î + ĵ)

= -5î + 7ĵ - 2î - ĵ

= (-5 - 2) î + (7 - 1) ĵ

= -7î + 6ĵ

因此，该向量的标量分量为 -7 和 6，其向量分量为 -7î 和 6ĵ。

6. 求向量 a⃗ = î - 2ĵ + k̂、b⃗ = -2î + 4ĵ + 5k̂ 和 c⃗ = î - 6ĵ - 7k̂ 的和。

解决方案

给定向量

a⃗ = î - 2ĵ + k̂

b⃗ = -2î + 4ĵ + 5k̂

c⃗ = î - 6ĵ - 7k̂

(a⃗ + b⃗ + c⃗) = î - 2ĵ + k̂ - 2î + 4ĵ + 5k̂ + î - 6ĵ - 7k̂

= (1 - 2 + 1) î + (-2 + 4 - 6) ĵ + (1 + 5 - 7) k̂

= 0î - 4ĵ - k̂

= -4ĵ - k̂

7. 求向量 a⃗ = î + ĵ + 2k̂ 方向上的单位向量。

解决方案

给定向量

a⃗ = î + ĵ + 2k̂

给定向量方向上的单位向量 = â = a⃗/|a⃗|

â = (î + ĵ + 2k̂)/√(1² + 1² + 2²)

â = (î + ĵ + 2k̂)/√(1 + 1 + 4)

â = (î + ĵ + 2k̂)/√6

â = î/√6 + ĵ/√6 + 2k̂/√6

8. 求向量 PQ⃗ 方向上的单位向量，其中 P 和 Q 的点分别为 (1, 2, 3) 和 (4, 5, 6)。

解决方案

给定点

P (1, 2, 3) 和 Q (4, 5, 6)

P⃗ = î + 2ĵ + 3k̂

Q⃗ = 4î + 5ĵ + 6k̂

PQ⃗ = Q⃗ - P⃗

= (4 - 1) î + (5 - 2) ĵ + (6 - 3) k̂

= 3î + 3ĵ + 3k̂

PQ⃗ 方向上的单位向量 = PQ̂ = PQ⃗/|PQ⃗|

= (3î + 3ĵ + 3k̂)/√(3² + 3² + 3²)

= (3î + 3ĵ + 3k̂)/√(9 + 9 + 9)

= (3î + 3ĵ + 3k̂)/√27

= (3î + 3ĵ + 3k̂)/3√3

= î/√3 + ĵ/√3 + k̂/√3

9. 对于给定向量 a⃗ = 2î - ĵ + 2k̂ 和 b⃗ = -î + ĵ - k̂，求向量 a⃗ + b⃗ 方向上的单位向量。

解决方案

给定向量

a⃗ = 2î - ĵ + 2k̂

b⃗ = -î + ĵ - k̂

(a⃗ + b⃗) = (2 - 1) î + (-1 + 1) ĵ + (2 - 1) k̂

= î + 0ĵ + k̂

= î + k̂

(a⃗ + b⃗) 方向上的单位向量 = (a⃗ + b⃗) ̂ = (a⃗ + b⃗)/|(a⃗ + b⃗)|

= (î + k̂)/√(1² + 1²)

= (î + k̂)/√(1 + 1)

= (î + k̂)/√2

= î/√2 + k̂/√2

10. 求向量 5î - ĵ + 2k̂ 方向上大小为 8 单位的向量。

解决方案

设给定向量为 a⃗ = 5î - ĵ + 2k̂

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(5² + (-1)² + 2²)

= √(25 + 1 + 4)

= √30

给定向量 a⃗ 方向上的单位向量 = â = a⃗/|a⃗|

= (5î - ĵ + 2k̂)/√30

所需向量的大小 = 8

因此，所需向量的方向与给定向量相同，大小为 8，将是

8â = 8 (5î - ĵ + 2k̂)/√30

= 40î/√30 - 8ĵ/√30 + 2k̂/√30

11. 证明向量 2î - 3ĵ + 4k̂ 和 -4î + 6ĵ - 8k̂ 是共线的。

解决方案

给定向量

a⃗ = 2î - 3ĵ + 4k̂

b⃗ = -4î + 6ĵ - 8k̂

b⃗ = -2 (2î - 3ĵ + 4k̂)

b⃗ = -2 (a⃗)

b⃗ = λ(a⃗)

因此，这两个给定向量是共线的。

12. 求向量 î + 2ĵ + 3k̂ 的方向余弦。

解决方案

设给定向量 = a⃗ = î + 2ĵ + 3k̂

给定向量的大小 = |a⃗| = √(1² + 2² + 3²)

= √(1 + 4 + 9)

= √14

给定向量方向上的单位向量 = â = a⃗/|a⃗|

= (î + 2ĵ + 3k̂)/√14

= î/√14 + 2ĵ/√14 + 3k̂/√14

因此，给定向量的方向余弦为 1/√14、2/√14 和 3/√14。

13. 求连接点 A (1, 2, -3) 和 B (-1, -2, 1) 并从 A 指向 B 的向量的方向余弦。

解决方案

给定点为 A (1, 2, -3) 和 B (-1, -2, 1)。

OA⃗ = -î + 2ĵ + k̂

OB⃗ = î - 2ĵ - 3k̂

连接点 A (1, 2, -3) 和 B (-1, -2, 1) 的向量 = AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

= î - 2ĵ - 3k̂ - (-î + 2ĵ + k̂)

= î - 2ĵ - 3k̂ + î - 2ĵ - k̂

= 2î - 4ĵ - 4k̂

AB⃗ 的大小 = |AB⃗| = √(2² + (-4)² + (-4)²)

= √(4 + 16 + 16)

= √(36)

= 6

AB⃗ 方向上的单位向量 = AB̂ = AB⃗/|AB⃗|

= (2î - 4ĵ - 4k̂)/6

= î/3 - 2ĵ/3 - 2k̂/3

因此，给定向量的方向余弦为 1/3、-2/3 和 -2/3。

14. 证明向量 î + ĵ + k̂ 与 OX、OY 和 OZ 轴等倾斜。

解决方案

设 a⃗ = î + ĵ + k̂

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(1² + 1² + 1²)

= √(1 + 1 + 1)

= √3

给定向量 a⃗ 方向上的单位向量 = a⃗/|a⃗|

= (î + ĵ + k̂)/√3

= î/√3 + ĵ/√3 + k̂/√3

因此，给定向量 a⃗ 的方向余弦为 1/√3、1/√3 和 1/√3。

设 x、y 和 z 为向量 a⃗ 与 OX、OY 和 OZ 轴形成的倾斜角。

cos x = 1/√3

cos y = 1/√3

cos z = 1/√3

因此，给定向量与 OX、OY 和 OZ 轴等倾斜。

15. 求点 R 的位置向量，该点将两个点 P 和 Q（其位置向量分别为 î + 2ĵ - k̂ 和 -î + ĵ + k̂）以 2 : 1 的比率进行划分。

(i) 内部分割 (ii) 外部分割

解决方案

(i) 点 R 将连接 P 和 Q 的线段以 2 : 1 的比率内部分割，其位置向量为

OR⃗ = [2 (-î + ĵ + k̂) + 1 (î + 2ĵ - k̂)]/(2 + 1)

= [-2î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2ĵ - k̂]/3

= [-î + 4ĵ + k̂]/3

= -î/3 + 4ĵ/3 + k̂/3

(ii) 点 R 将连接 P 和 Q 的线段以 2 : 1 的比率外部分割，其位置向量为

OR⃗ = [2 (-î + ĵ + k̂) - 1 (î + 2ĵ - k̂)]/(2 - 1)

= [-2î + 2ĵ + 2k̂ - î - 2ĵ + k̂]/1

= -3î + 3k̂

16. 求连接点 P (2, 3, 4) 和 Q (4, 1, -2) 的向量的中点的位置向量。

解决方案

给定点为 P (2, 3, 4) 和 Q (4, 1, -2)。

P 的位置向量 = 2î + 3ĵ + 4k̂

Q 的位置向量 = 4î + ĵ - 2k̂

因此，连接点 P 和 Q 的向量的中点的位置向量为

= [(2î + 3ĵ + 4k̂) + (4î + ĵ - 2k̂)]/2

= [6î + 4ĵ + 2k̂]/2

= 3î + 2ĵ + k̂

17. 证明点 A、B 和 C（其位置向量分别为 a⃗ = 3î - 4ĵ - 4k̂、b⃗ = 2î - ĵ + k̂ 和 c⃗ = î - 3ĵ - 5k̂）形成一个直角三角形的顶点。

解决方案

给定点 A、B 和 C 的位置向量

OA⃗ = a⃗ = 3î - 4ĵ - 4k̂

OB⃗ = b⃗ = 2î - ĵ + k̂

OC⃗ = c⃗ = î - 3ĵ - 5k̂

因此，

连接 A 和 B 的位置向量 = AB⃗ = OB⃗ - OA⃗ = b⃗ - a⃗

= (2î - ĵ + k̂) - (3î - 4ĵ - 4k̂)

= 2î - ĵ + k̂ - 3î + 4ĵ + 4k̂

= -î + 3ĵ + 5k̂

连接 B 和 C 的位置向量 = BC⃗ = OC⃗ - OB⃗ = c⃗ - b⃗

= (î - 3ĵ - 5k̂) - (2î - ĵ + k̂)

= î - 3ĵ - 5k̂ - 2î + ĵ - k̂

= -î - 2ĵ - 6k̂

连接 C 和 A 的位置向量 = CA⃗ = OA⃗ - OC⃗ = a⃗ - c⃗

= (3î - 4ĵ - 4k̂) - (î - 3ĵ - 5k̂)

= 3î - 4ĵ - 4k̂ - î + 3ĵ + 5k̂

= 2î - ĵ + k̂

AB⃗ 的大小 = |AB⃗| = √((-1)² + 3² + 5²)

= √(1 + 9 + 25)

= √35 单位

BC⃗ 的大小 = |BC⃗| = √((-1)² + (-2)² + (-6)²)

= √(1 + 4 + 36)

= √41 单位

CA⃗ 的大小 = |CA⃗| = √(2² + (-1)² + 1²)

= √(4 + 1 + 1)

= √6 单位

如果满足以下条件，ABC 将是直角三角形

|AB⃗|² + |CA⃗|² = |BC⃗|²

左侧 = (√35)² + (√6)²

= 35 + 6 = 41

右侧 = (√41)² = 41

LHS = RHS

因此，ABC 是直角三角形。

因此，给定点 A、B 和 C 形成直角三角形的顶点。

18. 在三角形 ABC (图 10.18) 中，下列哪项不正确

(A) AB⃗ + BC⃗ + CA⃗ = 0⃗

(B) AB⃗ + BC⃗ - AC⃗ = 0⃗

(C) AB⃗ + BC⃗ - CA⃗ = 0⃗

(D) AB⃗ - CB⃗ + CA⃗ = 0

解决方案

使用三角形加法法则，我们得到

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗

AB⃗ + BC⃗ - AC⃗ = 0

因此，(B) 是正确的。

AB⃗ + BC⃗ - (-CA⃗) = 0

AB⃗ + BC⃗ + CA⃗ = 0

因此，(A) 是正确的。

AB⃗ + (-CB⃗) + CA⃗ = 0

AB⃗ - CB⃗ + CA⃗ = 0

因此，(D) 是正确的。

因此，(C) 是不正确的。

19. 如果 a⃗ 和 b⃗ 是两个共线向量，那么下列哪项是错误的

(A) b⃗ = λa⃗，对于某个标量 λ

(B) a⃗ = ±b⃗

(C) a⃗ 和 b⃗ 的各自对应分量不成比例。

(D) 向量 a⃗ 和 b⃗ 具有相同的方向，但大小不同。

解决方案

如果两个给定向量是共线的，那么它们也是平行的。

所以，

b⃗ = λa⃗

因此，(A) 是正确的。

λ 可能为 ±1。所以，

b⃗ = ±a⃗

或

a⃗ = ±b⃗

因此，(B) 是正确的。

如果两个向量平行，那么这些平行向量的各自对应分量是成比例的。

因此，(D) 是正确的。

因此，(C) 是不正确的。

练习 10.3

1. 求两个向量 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角，它们的大小分别为 √3 和 2，且 a⃗ .b⃗ = √6。

解决方案

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √3

b⃗ 的大小 = |b⃗| = 2

已知

a⃗ .b⃗ = √6

因此，

√6 = |a⃗|. |b⃗| cos θ，其中 θ 是两个向量之间的夹角。

√6 = (√3) 2 cos θ

√2/2 = cos θ

cos θ = 1/√2

cos θ = cos π/4

θ = π/4

因此，给定向量 a⃗ 和 b⃗ 之间的所需夹角为 π/4。

2. 求向量 î - 2ĵ + 3k̂ 和 3î - 2ĵ + k̂ 之间的夹角。

解决方案

给定向量

a⃗ = î - 2ĵ + 3k̂

b⃗ = 3î - 2ĵ + k̂

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(1² + (-2)² + 3²)

= √(1 + 4 + 9) = √14

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(3² + (-2)² + 1²)

= √(9 + 4 + 1) √14

a⃗ .b⃗ = (î - 2ĵ + 3k̂) (3î - 2ĵ + k̂)

a⃗ .b⃗ = 3 + 4 + 3

a⃗ .b⃗ = 10

|a⃗|. |b⃗| cos θ = 10，其中 θ 是两个向量之间的夹角。

10 = (√14)(√14) cos θ

10 = 14 cos θ

cos θ = 5/7

θ = cos^-1(5/7)

因此，给定向量 a⃗ 和 b⃗ 之间的所需夹角为 cos^-1 (5/7)。

3. 求向量 î - ĵ 在 î + ĵ 上的投影。

解决方案

给定向量

a⃗ = î - ĵ

b⃗ = î + ĵ

a⃗ 在 b⃗ 上的投影为

(a⃗. b⃗)/|b⃗| = (î - ĵ) (î + ĵ)/√(1² + 1²)

= (1 - 1)/√(1 + 1)

= 0/√2

= 0

4. 求向量 î + 3ĵ + 7k̂ 在 7î - ĵ + 8k̂ 上的投影。

解决方案

给定向量

a⃗ = î + 3ĵ + 7k̂

b⃗ = 7î - ĵ + 8k̂

a⃗ 在 b⃗ 上的投影为

(a⃗. b⃗)/|b⃗| = (î + 3ĵ + 7k̂) (7î - ĵ + 8k̂)/√(7² + (-1)² + 8²)

= (7 - 3 + 56)/√(49 + 1 + 64)

= 60/√114

5. 证明给定三个向量都是单位向量

1/7 (2î + 3ĵ + 6k̂), 1/7 (3î - 6ĵ + 2k̂), 1/7 (6î + 2ĵ - 3k̂)

另外，证明它们互相垂直。

解决方案

设给定向量为

a⃗ = 1/7 (2î + 3ĵ + 6k̂) = 2î/7 + 3ĵ/7 + 6k̂/7

b⃗ = 1/7 (3î - 6ĵ + 2k̂) = 3î/7 - 6ĵ/7 + 2k̂/7

c⃗ = 1/7 (6î + 2ĵ - 3k̂) = 6î/7 + 2ĵ/7 - 3k̂/7

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(2²/7² + 3²/7² + 6²/7²)

= (1/7) √(4 + 9 + 36)

= (1/7) √49

= (1/7) 7 = 1

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(3²/7² + (-6)²/7² + 2²/7²)

= (1/7) √(9 + 36 + 4)

= (1/7) √49

= (1/7) 7 = 1

c⃗ 的大小 = |c⃗| = √(6²/7² + 2²/7² + (-3)²/7²)

= (1/7) √(36 + 4 + 9)

= (1/7) √49

= (1/7) 7 = 1

因此，三个给定向量中的每一个都是单位向量。

a⃗. b⃗ = [1/7 (2î + 3ĵ + 6k̂)] [1/7 (3î - 6ĵ + 2k̂)]

= 1/49 (6 - 18 + 12)

= 1/49 (0) = 0

b⃗. c⃗ = [1/7 (3î - 6ĵ + 2k̂)] [1/7 (6î + 2ĵ - 3k̂)]

= 1/49 (18 - 12 - 6)

= 1/49 (0) = 0

c⃗. a⃗ = [1/7 (6î + 2ĵ - 3k̂)] [1/7 (2î + 3ĵ + 6k̂)]

= 1/49 (12 + 6 - 18)

= 1/49 (0) = 0

因此，三个给定向量互相垂直。

6. 求 |a⃗| 和 |b⃗|，如果 (a⃗ + b⃗) (a⃗ - b⃗) = 8 且 |a⃗| = 8|b⃗|。

解决方案

给定

(a⃗ + b⃗) (a⃗ - b⃗) = 8

|a⃗|² - a⃗. b⃗ + b⃗. a⃗ - |b⃗|² = 8

|a⃗|² - |b⃗|² = 8

还已知 |a⃗| = 8|b⃗|

(8|b⃗|)² - |b⃗|² = 8

64|b⃗|² - |b⃗|² = 8

63|b⃗|² = 8

|b⃗|² = 8/63

|b⃗| = √(8/63)

|b⃗| = 2√2/3√7

|a⃗| = 8|b⃗|

|a⃗| = 8 (2√2/3√7)

|a⃗| = 16√2/3√7

7. 计算乘积 (3a⃗ - 5b⃗) (2a⃗ + 7b⃗)。

解决方案

(3a⃗ - 5b⃗) (2a⃗ + 7b⃗)

= 3a⃗. 2a⃗ + 3a⃗. 7b⃗ - 5b⃗. 2a⃗ - 5b⃗. 7b⃗

= 6|a⃗|² + 21 a⃗. b⃗ - 10 a⃗. b⃗ - 35|b⃗|²

= 6|a⃗|² + 11 a⃗. b⃗ - 35|b⃗|²

8. 求两个大小相同且夹角为 60°，标量积为 1/2 的向量 a⃗ 和 b⃗ 的大小。

解决方案

a⃗. b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos θ

已知 a⃗ 和 b⃗ 的大小相同，a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角为 60°，且它们的标量积为 1/2。因此，

1/2 = |a⃗| |a⃗| cos 60°

1/2 = |a⃗|² (1/2)

1 = |a⃗|²

1 = |a⃗|

|b⃗| = |a⃗| = 1

9. 如果对于单位向量 a⃗，(x⃗ - a⃗). (x⃗ + a⃗) = 12，求 |x⃗|。

解决方案

(x⃗ - a⃗). (x⃗ + a⃗) = 12

x⃗. x⃗ + x⃗. a⃗ - x⃗. a⃗ - a⃗. a⃗ = 12

|x⃗|² - |a⃗|² = 12

|a⃗| = 1，因为它是一个单位向量。

|x⃗|² - 1² = 12

|x⃗|² - 1 = 12

|x⃗|² = 13

|x⃗| = √13

10. 如果 a⃗ = 2î + 2ĵ + 3k̂，b⃗ = -î + 2ĵ + k̂ 和 c⃗ = 3î + ĵ 使得 a⃗ + λb⃗ 垂直于 c⃗，那么求 λ 的值。

解决方案

给定向量

a⃗ = 2î + 2ĵ + 3k̂

b⃗ = -î + 2ĵ + k̂

c⃗ = 3î + ĵ

(a⃗ + λb⃗) = (2î + 2ĵ + 3k̂) + λ (-î + 2ĵ + k̂)

= 2î + 2ĵ + 3k̂ - λî + 2λĵ + λk̂

= (2 - λ) î + (2 + 2λ) ĵ + (3 + λ) k̂

已知 a⃗ + λb⃗ 垂直于 c⃗。因此，

(a⃗ + λb⃗). c⃗ = 0

[(2 - λ) î + (2 + 2λ) ĵ + (3 + λ) k̂]. (3î + ĵ) = 0

(2 - λ) 3 + (2 + 2λ) + (3 + λ) 0 = 0

6 - 3λ + 2 + 2λ = 0

8 - λ = 0

λ = 8

11. 对于任意两个非零向量 a⃗ 和 b⃗，证明 |a⃗|b⃗ + |b⃗|a⃗ 垂直于 |a⃗|b⃗ - |b⃗|a⃗。

解决方案

(|a⃗|b⃗ + |b⃗|a⃗). (|a⃗|b⃗ - |b⃗|a⃗)

= |a⃗|²b⃗. b⃗ - |a⃗||b⃗|b⃗. a⃗ + |b⃗||a⃗|a⃗. b⃗ - |b⃗|²a⃗. a⃗

= |a⃗|². |b⃗|² - |b⃗|². |a⃗|²

= 0

因此，|a⃗|b⃗ + |b⃗|a⃗ 垂直于 |a⃗|b⃗ - |b⃗|a⃗。

12. 如果 a⃗. a⃗ = 0 且 a⃗. b⃗ = 0，那么关于向量 b⃗ 可以得出什么结论？

解决方案

已知，a⃗. a⃗ = 0 且 a⃗. b⃗ = 0

a⃗. a⃗ = 0

|a⃗|² = 0

|a⃗| = 0

因此，a⃗ 是一个零向量。

因此，满足 a⃗. b⃗ = 0 的 b⃗ 可以是任意向量。

13. 如果 a⃗、b⃗、c⃗ 是单位向量，使得 a⃗ + b⃗ + c⃗ = 0⃗，求 a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗ 的值。

解决方案

已知

0 = |a⃗ + b⃗ + c⃗|²

0 = |a⃗|² + |b⃗|² + |c⃗|² + 2 (a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗)

0 = 1 + 1 + 1 + 2 (a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗)

0 = 3 + 2 (a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗)

-3 = 2 (a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗)

(a⃗. b⃗ + b⃗. c⃗ + c⃗. a⃗) = -3/2

14. 如果向量 a⃗ = 0⃗ 或 b⃗ = 0⃗，那么 a⃗. b⃗ = 0。但反之不一定成立。请举例说明你的答案。

解决方案

设 a⃗ = 2î + 4ĵ + 3k̂ 且 b⃗ = 2î + 2ĵ - 4k̂

两个向量的标量积 = a⃗. b⃗

= (2î + 4ĵ + 3k̂). (2î + 2ĵ - 4k̂)

= 4 + 8 - 12

= 0

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(2² + 4² + 3²)

= √(4 + 16 + 9)

= √29

a⃗ ≠ 0⃗

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(2² + 2² + (-4)²)

= √(4 + 4 + 16)

= √24

= 2√6

b⃗ ≠ 0⃗

因此，两个向量都不是零向量，但两个向量的标量积为 0。

因此，给定陈述的反之不一定成立。

15. 如果三角形 ABC 的顶点 A、B、C 分别为 (1, 2, 3)、(-1, 0, 0)、(0, 1, 2)，那么求 ∠ABC。[∠ABC 是向量 BA⃗ 和 BC⃗ 之间的夹角]。

解决方案

三角形的给定顶点：A (1, 2, 3)、B (-1, 0, 0) 和 C (0, 1, 2)。

给定点的位置向量

OA⃗ = î + 2ĵ + 3k̂

OB⃗ = -î

OC⃗ = ĵ + 2k̂

BA⃗ = OA⃗ - OB⃗

= (î + 2ĵ + 3k̂) - î

= (1 - (-1)) î + (2 - 0) ĵ + (3 - 0) k̂

= 2î + 2ĵ + 3k̂

BC⃗ = OC⃗ - OB⃗

= (ĵ + 2k̂) - î

= (1 - 0) î + (1 - 0) ĵ + (2 - 0) k̂

= î + ĵ + 2k̂

BA⃗. BC⃗ = |BA⃗|. |BC⃗| cos (∠ ABC)

(2î + 2ĵ + 3k̂). (î + ĵ + 2k̂) = √(2² + 2² + 3²) √(1² + 1² + 2²) cos (∠ ABC)

(2 + 2 + 6) = √(4 + 4 + 9) √(1 + 1 + 4) cos (∠ ABC)

10 = √17 √6 cos (∠ ABC)

10 = √102 cos (∠ ABC)

10/√102 = cos (∠ ABC)

∠ ABC = cos^-1 (10/√102)

16. 证明点 A(1, 2, 7)、B(2, 6, 3) 和 C(3, 10, -1) 是共线的。

解决方案

给定点为 A (1, 2, 7)、B (2, 6, 3) 和 C (3, 10, -1)。

给定点的位置向量

OA⃗ = î + 2ĵ + 7k̂

OB⃗ = 2î + 6ĵ + 3k̂

OC⃗ = 3î + 10ĵ - k̂

连接 A 和 B 的向量 = AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

= (2î + 6ĵ + 3k̂) - (î + 2ĵ + 7k̂)

= (2 - 1) î + (6 - 2) ĵ + (3 - 7) k̂

= î + 4ĵ - 4k̂

连接 B 和 C 的向量 = BC⃗ = OC⃗ - OB⃗

= (3î + 10ĵ - k̂) - (2î + 6ĵ + 3k̂)

= (3 - 2) î + (10 - 6) ĵ + (-1 - 3) k̂

= î + 4ĵ - 4k̂

连接 A 和 C 的向量 = OC⃗ - OA⃗

= (3î + 10ĵ - k̂) - (î + 2ĵ + 7k̂)

= (3 - 1) î + (10 - 2) ĵ + (-1 - 7) k̂

= 2î + 8ĵ - 8k̂

AB⃗ 的大小 = |AB⃗| = √(1² + 4² + (-4)²)

= √(1 + 16 + 16)

= √33

BC⃗ 的大小 = |BC⃗| = √(1² + 4² + (-4)²)

= √(1 + 16 + 16)

= √33

AC⃗ 的大小 = |AC⃗| = √(2² + 8² + (-8)²)

= √(4 + 64 + 64)

= √132

= 2√33

|AB⃗| + |BC⃗| = √33 + √33 = 2√33 = |AC⃗|

因此，给定点是共线的。

17. 证明向量 2î - ĵ + k̂、î - 3ĵ - 5k̂ 和 3î - 4ĵ - 4k̂ 形成一个直角三角形的顶点。

解决方案

设给定向量为

OA⃗ = 2î - ĵ + k̂

OB⃗ = î - 3ĵ - 5k̂

OC⃗ = 3î - 4ĵ - 4k̂

AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

= î - 3ĵ - 5k̂ - (2î - ĵ + k̂)

= -î - 2ĵ - 6k̂

BC⃗ = OC⃗ - OB⃗

= 3î - 4ĵ - 4k̂ - (î - 3ĵ - 5k̂)

= 2î - ĵ + k̂

AC⃗ = OC⃗ - OA⃗

= 3î - 4ĵ - 4k̂ - (2î - ĵ + k̂)

= î - 3ĵ - 5k̂

AB⃗ 的大小 = |AB⃗| = √((-1)² + (-2)² + (-6)²)

= √(1 + 4 + 36)

= √41

BC⃗ 的大小 = |BC⃗| = √(2² + (-1)² + 1²)

= √(4 + 1 + 1)

= √6

AC⃗ 的大小 = |AC⃗| = √(1² + (-3)² + (-5)²)

= √(1 + 9 + 25)

= √35

|AB⃗|² = (√41)² = 41

|AC⃗| + |BC⃗| = (√35)² + (√6)²= 35 + 6 = 41 = |AB⃗|²

因此，ABC 形成一个直角三角形。

因此，给定向量形成一个直角三角形的顶点。

18. 如果 a⃗ 是大小为 'a' 的非零向量，且 λ 是非零标量，那么 λa⃗ 是单位向量，如果

(A) λ = 1 (B) λ = -1 (C) a = |λ| (D) a = 1/|λ|

解决方案

如果一个向量的大小为 1，则它被认为是单位向量。

所以，λa⃗ 是单位向量，如果

|λa⃗| = 1

|λ| |a⃗| = 1

|a⃗| = 1/|λ|

a = 1/|λ|

因为 a⃗ 是大小为 'a' 的非零向量。

因此，(D) 是正确答案。

练习 10.4

1. 求 |a⃗ × b⃗|，如果 a⃗ = î - 7ĵ + 7k̂ 且 b⃗ = 3î - 2ĵ + 2k̂。

解决方案

给定向量为 a⃗ = î - 7ĵ + 7k̂ 且 b⃗ = 3î - 2ĵ + 2k̂。

a⃗ × b⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î ((-7) 2 - 7 (-2)) - ĵ (1 (2) - 7 (3)) + k̂ (1 (-2) - (-7) 3)

= î (-14 + 14) - ĵ (2 - 21) + k̂ (-2 + 21)

= î (0) - ĵ (-19) + k̂ (19)

= 19ĵ + 19k̂

|a⃗ × b⃗| = √(19² + 19²)

= 19√2

2. 求一个单位向量，它垂直于向量 a⃗ + b⃗ 和 a⃗ - b⃗，其中 a⃗ = 3î + 2ĵ + 2k̂ 且 b⃗ = î + 2î - 2k̂。

解答

给定向量为 a⃗ = 3î + 2ĵ + 2k̂ 且 b⃗ = î + 2î - 2k̂

a⃗ + b⃗ = 3î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2î - 2k̂

= (3 + 1) î + (2 + 2) ĵ + (2 - 2) k̂

= 4î + 4ĵ

a⃗ - b⃗ = 3î + 2ĵ + 2k̂ - î - 2î + 2k̂

= (3 - 1) î + (2 - 2) ĵ + (2 + 2) k̂

= 2î + 4k̂

(a⃗ + b⃗) × (a⃗ - b⃗) = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (4 (4) - 0 (0)) - ĵ (4 (4) - 0 (2)) + k̂ (4 (0) - (4) 2)

= î (16 - 0) - ĵ (16 - 0) + k̂ (0 - 8)

= 16î - 16ĵ - 8k̂

|(a⃗ + b⃗) × (a⃗ - b⃗)| = √(16² + (-16)² + (-8)²)

= √(256 + 256 + 64)

= √576

= 24

垂直于给定两个向量的单位向量为

± [(a⃗ + b⃗) × (a⃗ - b⃗)]/|(a⃗ + b⃗) × (a⃗ - b⃗)|

= ± (16î - 16ĵ - 8k̂)/24

= ± (2î/3 - 2ĵ/3 - k̂/3)

= ±2î/3 ∓ 2ĵ/3 ∓ k̂/3

3. 如果单位向量 a⃗ 与 î 成 π/3 角，与 ĵ 成 π/4 角，与 k̂ 成锐角 θ，那么求 θ，进而求出 a⃗ 的分量。

解决方案

设给定单位向量 a⃗ 的分量为 (a₁, a₂, a₃)。

|a⃗| = 1，因为 a⃗ 是单位向量。

a⃗ = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂

已知 a⃗ 与 î 成 π/3 角，与 ĵ 成 π/4 角，与 k̂ 成锐角 θ。因此，

cos π/3 = a₁/|a⃗|

1/2 = a₁/1

a₁ = 1/2

cos π/4 = a₂/|a⃗|

1/√2 = a₂/1

a₂ = 1/√2

cos θ = a₃/|a⃗|

cos θ = a₃/1

a₃ = cos θ

现在，

|a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

1 = √((1/2)² + (1/√2)² + cos² θ)

1 = √(1/4 + 1/2 + cos² θ)

1 = √(3/4 + cos² θ)

两边平方

1 = 3/4 + cos² θ

1/4 = cos² θ

cos θ = √(1/4)

cos θ = 1/2

a₃ = 1/2

因此，a⃗ 的分量为 (1/2, 1/√2, 1/2)。

4. 证明 (a⃗ - b⃗) × (a⃗ + b⃗) = 2 (a⃗ × b⃗)

解决方案

(a⃗ - b⃗) × (a⃗ + b⃗)

= (a⃗ - b⃗) a⃗ + (a⃗ - b⃗) b⃗

= a⃗ .a⃗ - b⃗ .a⃗ + a⃗ .b⃗ - b⃗ .b⃗

= 0 - b⃗ × a⃗ + a⃗ × b⃗

= a⃗ × b⃗ + a⃗ × b⃗

= 2 (a⃗ × b⃗)

5. 如果 (2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) = 0⃗，求 λ 和 μ。

解决方案

(2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) = 0⃗

NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra = 0î + 0ĵ + 0k̂

î (6 (μ) - 27 (λ)) - ĵ (2 (μ) - 27 (1)) + k̂ (2 (λ) - 6 (1)) = 0î + 0ĵ + 0k̂

î (6μ - 27λ) - ĵ (2μ - 27) + k̂ (2λ - 6) = 0î + 0ĵ + 0k̂

比较相应的向量分量，我们得到

6μ - 27λ = 0

-(2μ - 27) = 0

2λ - 6 = 0

2λ = 6

λ = 3

6μ - 27λ = 0

6μ - 27 (3) = 0

6μ - 81 = 0

6μ = 81

μ = 27/2

6. 已知 a⃗. b⃗ = 0 且 a⃗ × b⃗ = 0⃗。关于向量 a⃗ 和 b⃗，你可以得出什么结论？

解决方案

如果 a⃗. b⃗ = 0，那么

|a⃗| = 0 或

|b⃗| = 0 或

|a⃗| = |b⃗| = 0

a⃗ ⊥ b⃗

如果 a⃗ × b⃗ = 0，那么

|a⃗| = 0 或

|b⃗| = 0 或

|a⃗| = |b⃗| = 0

a⃗ ∥ b⃗

但是，给定向量 a⃗ 和 b⃗ 不能同时平行和垂直。

因此，|a⃗| = 0 或 |b⃗| = 0 或 |a⃗| = |b⃗| = 0。

7. 设向量 a⃗、b⃗、c⃗ 分别为 a₁î + a₂ĵ + a₃k̂、b₁î + b₂ĵ + b₃k̂、c₁î + c₂ĵ + c₃k̂。那么证明 a⃗ × (b⃗ + c⃗) = a⃗ × b⃗ + a⃗ × c⃗。

解决方案

给定向量为 a⃗ = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂、b⃗ = b₁î + b₂ĵ + b₃k̂ 和 c⃗ = c₁î + c₂ĵ + c₃k̂。

(b⃗ + c⃗) = b₁î + b₂ĵ + b₃k̂ + c₁î + c₂ĵ + c₃k̂

(b⃗ + c⃗) = (b₁+ c₁) î + (b₂+ c₂)ĵ + (b₃+ c₃) k̂

a⃗ × (b⃗ × c⃗) = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (a₂ (b₃+ c₃) - a₃ (b₂ + c₂)) - ĵ (a₁ (b₃ + c₃) - a₃ (b₁ + c₁)) + k̂ (a₁ (b₂ + c₂) - a₂ (b₁ + c₁))

= î (a₂b₃+ a₂c₃ - a₃b₂ - a₃c₂) - ĵ (a₁b₃ + a₁c₃ - a₃b₁ - a₃c₁) + k̂ (a₁b₂ + a₁c₂ - a₂b₁ - a₂c₁)

a⃗ × b⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (a₂ (b₃) - a₃ (b₂)) - ĵ (a₁ (b₃) - a₃ (b₁)) + k̂ (a₁ (b₂) - a₂ (b₁))

= î (a₂b₃ - a₃b₂) - ĵ (a₁b₃ - a₃b₁) + k̂ (a₁b₂ - a₂b₁)

a⃗ × c⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (a₂ (c₃) - a₃ (c₂)) - ĵ (a₁ (c₃) - a₃ (c₁)) + k̂ (a₁ (c₂) - a₂ (c₁))

= î (a₂c₃ - a₃c₂) - ĵ (a₁c₃ - a₃c₁) + k̂ (a₁c₂ - a₂c₁)

现在，

左侧 = a⃗ × (b⃗ + c⃗) = î (a₂b₃+ a₂c₃ - a₃b₂ - a₃c₂) - ĵ (a₁b₃ + a₁c₃ - a₃b₁ - a₃c₁) + k̂ (a₁b₂ + a₁c₂ - a₂b₁ - a₂c₁)

右侧 = a⃗ × b⃗ + a⃗ × c⃗

= î (a₂b₃ - a₃b₂) - ĵ (a₁b₃ - a₃b₁) + k̂ (a₁b₂ - a₂b₁) + î (a₂c₃ - a₃c₂) - ĵ (a₁c₃ - a₃c₁) + k̂ (a₁c₂ - a₂c₁)

= î (a₂b₃ - a₃b₂ + a₂c₃ - a₃c₂) - ĵ (a₁b₃ - a₃b₁ + a₁c₃ - a₃c₁) + k̂ (a₁b₂ - a₂b₁ + a₁c₂ - a₂c₁)

= 左侧

因此，证明完毕。

8. 如果 a⃗ = 0⃗ 或 b⃗ = 0⃗，那么 a⃗ × b⃗ = 0。反之是否成立？请举例说明你的答案。

解决方案

考虑两个平行且非零的向量。

设 a⃗ = 2î + 3ĵ + 4k̂

且 b⃗ = 4î + 6ĵ + 8k̂

现在，a⃗ × b⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (3 (8) - 4 (6)) - ĵ (2 (8) - 4 (4)) + k̂ (2 (6) - 3 (4))

= î (24 - 24) - ĵ (16 - 16) + k̂ (12 - 12)

= 0î + 0ĵ + 0k̂

= 0⃗

a⃗ 的大小 = |a⃗| = √(2² + 3² + 4²)

= √(4 + 9 + 16)

= √29

|a⃗| ≠ 0

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √(4² + 6² + 8²)

= √(16 + 36 + 64)

= √116

= 2√29

|b⃗| ≠ 0

因此，给定陈述的反之不一定成立。

9. 求顶点为 A(1, 1, 2)、B(2, 3, 5) 和 C(1, 5, 5) 的三角形的面积。

解决方案

三角形的给定顶点为 A (1, 1, 2)、B (2, 3, 5) 和 C (1, 5, 5)。

顶点的位置向量为

OA⃗ = î + ĵ + 2k̂

OB⃗ = 2î + 3ĵ + 5k̂

OC⃗ = î + 5ĵ + 5k̂

构成三角形边的向量为

AB⃗ = OB⃗ - OA⃗ = 2î + 3ĵ + 5k̂ - (î + ĵ + 2k̂)

= î + 2ĵ + 3k̂

BC⃗ = OC⃗ - OB⃗ = î + 5ĵ + 5k̂ - (2î + 3ĵ + 5k̂)

= -î + 2ĵ

三角形 ABC 的面积 = 1/2 × |AB⃗ × BC⃗|

AB⃗ × BC⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (2 (0) - 3 (2)) - ĵ (1 (0) - 3 (-1)) + k̂ (1 (2) - 2 (-1))

= î (0 - 6) - ĵ (0 + 3) + k̂ (2 + 2)

= -6î - 3ĵ + 4k̂

|AB⃗ × BC⃗| = √((-6)² + (-3)² + 4²)

= √(36 + 9 + 16)

= √61

三角形 ABC 的面积 = √61/2

因此，给定顶点的三角形的面积为 √61/2 平方单位。

10. 求相邻边由向量 a⃗ = î - ĵ + 3k̂ 和 b⃗ = 2î - 7ĵ + k̂ 确定的平行四边形的面积。

解决方案

给定平行四边形的相邻边为 a⃗ = î - ĵ + 3k̂ 且 b⃗ = 2î - 7ĵ + k̂

平行四边形的面积 = |a⃗ × b⃗|

a⃗ × b⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (-1 (1) - 3 (-7)) - ĵ (1 (1) - 3 (2)) + k̂ (1 (-7) - (-1) (2))

= î (-1 + 21) - ĵ (1 - 6) + k̂ (-7 + 2)

= 20î + 5ĵ - 5k̂

|a⃗ × b⃗| = √(20² + 5² + (-5)²)

= √(400 + 25 + 25)

= √450

= 15√2

平行四边形的面积 = 15√2

因此，给定相邻向量的平行四边形的面积为 15√2 平方单位。

11. 设向量 a⃗ 和 b⃗ 使得 |a⃗| = 3 且 |b⃗| = √2/3，那么 a⃗ × b⃗ 是单位向量，如果 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角是

(A) π/6 (B) π/4 (C) π/3 (D) π/2

解决方案

a⃗ 的大小 = |a⃗| = 3

b⃗ 的大小 = |b⃗| = √2/3

我们知道

a⃗ × b⃗ = |a⃗| |b⃗| sin θ n̂

其中 n̂ 是垂直于 a⃗ 和 b⃗ 的单位向量，θ 是 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角。

如果其大小等于 1，a⃗ × b⃗ 将是单位向量，即，

|a⃗ × b⃗| = 1

因此，

||a⃗| |b⃗| sin θ n̂| = 1

||a⃗| |b⃗| sin θ| = 1

3 × √2/3 × sin θ = 1

√2 sin θ = 1

sin θ = 1/√2

sin θ = sin π/4

θ = π/4

因此，如果 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角是 π/4，a⃗ × b⃗ 是单位向量。

因此，(B) 是正确答案。

12. 顶点 A、B、C 和 D 的位置向量分别为 -î + ĵ/2 + 4k̂、î + ĵ/2 + 4k̂、î - ĵ/2 + 4k̂ 和 -î - ĵ/2 + 4k̂ 的矩形的面积是

(A) 1/2 (B) 1 (C) 2 (D) 4

解决方案

给定矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 和 D 的位置向量为

OA⃗ = -î + ĵ/2 + 4k̂

OB⃗ = î + ĵ/2 + 4k̂

OC⃗ = î - ĵ/2 + 4k̂

OD⃗ = -î - ĵ/2 + 4k̂

AB 和 BC 两条相邻边的向量为

AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

= î + ĵ/2 + 4k̂ - (-î + ĵ/2 + 4k̂)

= î + ĵ/2 + 4k̂ + î - ĵ/2 - 4k̂

= 2î

BC⃗ = OC⃗ - OB⃗

= î - ĵ/2 + 4k̂ - (î + ĵ/2 + 4k̂)

= î - ĵ/2 + 4k̂ - î - ĵ/2 - 4k̂

= -j

AB⃗ × BC⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (0 (0) - 0 (-1)) - ĵ (2 (0) - 0 (0)) + k̂ (2 (-1) - 0 (0))

= î (0) - ĵ (0) + k̂ (-2 - 0)

= -2k̂

|AB⃗ × BC⃗| = √(0² + 0² + (-2)²)

= √4 = 2

给定平行四边形 ABCD 的面积 = |AB⃗ × BC⃗| = 2 平方单位。

因此，(C) 是正确答案。

杂项练习

1. 写出在 XY 平面中，与 x 轴正方向成 30° 角的单位向量。

解决方案

如果 a⃗ 是 XY 平面中的单位向量，那么 a⃗ = cos θ î + sin θ ĵ

其中 θ 是单位向量与 x 轴正方向所成的角。

对于 θ = 30°，

a⃗ = cos 30° î + sin 30° ĵ

a⃗ = (√3/2) î + (1/2) ĵ

a⃗ = √3î/2 + ĵ/2

因此，√3î/2 + ĵ/2 是所需的单位向量。

2. 求连接点 P (x₁, y₁, z₁) 和 Q (x₂, y₂, z₂) 的向量的标量分量和大小。

解决方案

给定点为 P (x₁, y₁, z₁) 和 Q (x₂, y₂, z₂)。

给定点的位置向量为

OP⃗ = x₁î + y₁ĵ + z₁k̂

OQ⃗ = x₂î + y₂ĵ + z₂k̂

连接点 P 和 Q 的线段的位置向量为

PQ⃗ = OQ⃗ - OP⃗

= x₂î + y₂ĵ + z₂k̂ - (x₁î + y₁ĵ + z₁k̂)

= x₂î + y₂ĵ + z₂k̂ - x₁î - y₁ĵ - z₁k̂

= (x₂- x₁) î + (y₂- y₁) ĵ + (z₂- z₁) k̂

PQ⃗ 的大小 = |PQ⃗| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

向量 PQ⃗ 的标量分量为 (x₂- x₁)、(y₂- y₁) 和 (z₂- z₁)，其大小为 √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

3. 一个女孩向西走了 4 公里，然后向北偏东 30° 方向走了 3 公里并停下。确定女孩从她的出发点起的位移。

解决方案

设 O 和 B 分别为女孩的起始位置和最终位置。

那么，她的位移可以表示为

其中 OA 是向西行进的初始距离，AB 是向北偏东 30° 方向行进的 3 公里距离到达点 B。

|OA⃗| = 4

OA⃗ = -4î

AB⃗ = î |AB⃗| cos 60° + ĵ |AB⃗| sin 60°

= î (3) (1/2) + ĵ (3) (√3/2)

= 3î/2 + 3√3ĵ/2

使用 ∆ ABC 中的向量加法三角形法则，我们得到

OB⃗ = OA⃗ + AB⃗

OB⃗ = -4î + 3î/2 + 3√3ĵ/2

OB⃗ = (-4 + 3/2) î + 3√3ĵ/2

OB⃗ = (-5/2) î + 3√3ĵ/2

OB⃗ = -5î/2 + 3√3ĵ/2

因此，女孩从她的出发点起的位移是 -5î/2 + 3√3ĵ/2。

4. 如果 a⃗ = b⃗ + c⃗，那么 |a⃗| = |b⃗| + |c⃗| 是否正确？请说明你的答案。

解决方案

设有一个三角形，其边分别由向量 a⃗、b⃗ 和 c⃗ 给出。

现在，根据向量加法三角形法则，

a⃗ = b⃗ + c⃗

|a⃗|、|b⃗|、|c⃗| 表示三角形边的长度。

我们知道三角形两边之和大于第三边，即，

|a⃗| < |b⃗| + |c⃗|

但是，如果 |a⃗| < |b⃗| + |c⃗| 那么

|a⃗| = |b⃗| + |c⃗| 是错误的。

因此，如果已知 a⃗ = b⃗ + c⃗，那么 |a⃗| = |b⃗| + |c⃗| 不正确。

5. 求 x 的值，使得 x (î + ĵ + k̂) 是单位向量。

解决方案

如果一个向量的大小等于 1，则它被认为是单位向量。

已知 x (î + ĵ + k̂) 是单位向量。因此，

|x (î + ĵ + k̂)| = 1

√(x (1² + 1² + 1²)) = 1

√(x² + x² + x²) = 1

√(3x²) = 1

两边平方

3x² = 1

x² = 1/3

x = ± 1√3

6. 求一个大小为 5 单位，且平行于向量 a⃗ = 2î + 3ĵ - k̂ 和 b⃗ = î - 2ĵ + k̂ 的合向量的向量。

解决方案

给定向量为 a⃗ = 2î + 3ĵ - k̂ 且 b⃗ = î - 2ĵ + k̂

a⃗ + b⃗ = 2î + 3ĵ - k̂ + î - 2ĵ + k̂

a⃗ + b⃗ = 3î + ĵ

|a⃗ + b⃗| = √(3² + 1²)

|a⃗ + b⃗| = √(9 + 1)

|a⃗ + b⃗| = √10

(a⃗ + b⃗) ̂ = (a⃗ + b⃗)/|a⃗ + b⃗|

(a⃗ + b⃗) ̂ = (3î + ĵ)/√10

(a⃗ + b⃗) ̂ 是平行于向量 a⃗ 和 b⃗ 的合向量的单位向量。因此，大小为 5 单位且平行于向量 a⃗ 和 b⃗ 的合向量的向量是

±5 (a⃗ + b⃗) ̂ = ±5 ((3î + ĵ)/√10)

±5 (a⃗ + b⃗) ̂ = ±15î/√10 + 5ĵ/√10

±5 (a⃗ + b⃗) ̂ = ±15√10î/10 + 5√10ĵ/10

±5 (a⃗ + b⃗) ̂ = ±3√10î/2 + √10ĵ/2

7. 如果 a⃗ = î + ĵ + k̂，b⃗ = 2î - ĵ + 3k̂ 且 c⃗ = î - 2ĵ + k̂，求平行于向量 2a⃗ - b⃗ + 3c⃗ 的单位向量。

解决方案

给定向量为 a⃗ = î + ĵ + k̂，b⃗ = 2î - ĵ + 3k̂ 且 c⃗ = î - 2ĵ + k̂。

2a⃗ - b⃗ + 3c⃗ = 2 (î + ĵ + k̂) - (2î - ĵ + 3k̂) + 3 (î - 2ĵ + k̂)

2a⃗ - b⃗ + 3c⃗ = 2î + 2ĵ + 2k̂ - 2î + ĵ - 3k̂ + 3î - 6ĵ + 3k̂

2a⃗ - b⃗ + 3c⃗ = 3î - 3ĵ + 2k̂

|2a⃗ - b⃗ + 3c⃗| = √(3² + (-3)² + 2²)

|2a⃗ - b⃗ + 3c⃗| = √(9 + 9 + 4)

|2a⃗ - b⃗ + 3c⃗| = √22

平行于向量 2a⃗ - b⃗ + 3c⃗ 的单位向量为

(2a⃗ - b⃗ + 3c⃗) ̂ = (2a⃗ - b⃗ + 3c⃗)/|2a⃗ - b⃗ + 3c⃗|

(2a⃗ - b⃗ + 3c⃗) ̂ = (3î - 3ĵ + 2k̂)/√22

(2a⃗ - b⃗ + 3c⃗) ̂ = 3î/√22 - 3ĵ/√22 + 2k̂/√22

8. 证明点 A (1, -2, -8)、B (5, 0, -2) 和 C (11, 3, 7) 是共线的，并求 B 分割 AC 的比率。

解决方案

给定点为 A (1, -2, -8)、B (5, 0, -2) 和 C (11, 3, 7)。

给定点的位置向量为

OA⃗ = î - 2ĵ - 8k̂

OB⃗ = 5î - 2k̂

OC⃗ = 11î + 3ĵ + 7k̂

连接点 A 和 B 的线段的向量 = AB⃗ = OB⃗ - OA⃗

= 5î - 2k̂ - (î - 2ĵ - 8k̂)

= 5î - 2k̂ - î + 2ĵ + 8k̂

= 4î + 2ĵ + 6k̂

连接点 B 和 C 的线段的向量 = BC⃗ = OC⃗ - OB⃗

= 11î + 3ĵ + 7k̂ - (5î - 2k̂)

= 11î + 3ĵ + 7k̂ - 5î + 2k̂

= 6î + 3ĵ + 9k̂

连接点 C 和 A 的线段的向量 = CA⃗ = OA⃗ - OC⃗

= î - 2ĵ - 8k̂ - (11î + 3ĵ + 7k̂)

= î - 2ĵ - 8k̂ - 11î - 3ĵ - 7k̂

= -10î - 5ĵ - 15k̂

AB⃗ 的大小 = |AB⃗| = √(4² + 2²+ 6²)

= √(16 + 4 + 36)

= √56

= 2√14

BC⃗ 的大小 = |BC⃗| = √(6² + 3²+ 9²)

= √(36 + 9 + 81)

= √126

= 3√14

CA⃗ 的大小 = |CA⃗| = √((-10)² + (-5)²+ (-15)²)

= √(100 + 25 + 225)

= √350

= 5√14

|AB⃗| + |BC⃗| = 2√14 + 3√14 = 5√14 = |AC⃗|

因此，给定点 A、B 和 C 是共线的。

设点 B 分割 AC 的比率为 x : 1。

|OB⃗| = (x OC⃗ + 1 (OA⃗))/(x + 1)

5î - 2k̂ = [x (11î + 3ĵ + 7k̂) + î - 2ĵ - 8k̂]/(x + 1)

(x + 1) (5î - 2k̂) = 11xî + 3xĵ + 7xk̂ + î - 2ĵ - 8k̂

(5x + 5) î - (2x + 2) k̂ = (11x + 1) î + (3x - 2) ĵ + (7x - 8) k̂

比较相应的向量分量，我们得到

5x + 5 = 11x + 1

4 = 6x

x = 2/3

因此，给定点 B 将 AC 以 2 : 3 的比率进行分割。

9. 求点 R 的位置向量，该点将两个点 P 和 Q（其位置向量分别为 (2a⃗ + b⃗) 和 (a⃗ - 3b⃗)）以 1 : 2 的比率外部分割。另外，证明 P 是线段 RQ 的中点。

解决方案

给定位置向量

OP⃗ = 2a⃗ + b⃗

OQ⃗ = a⃗ - 3b⃗

已知点 R 将连接 P 和 Q 的线段以 1 : 2 的比率外部分割。因此，

OR⃗ = [2 (OP⃗) - 1 (OQ⃗)]/(2 - 1)

OR⃗ = [2 (2a⃗ + b⃗) - 1 (a⃗ - 3b⃗)]/1

OR⃗ = 4a⃗ + 2b⃗ - a⃗ + 3b⃗

OR⃗ = 3a⃗ + 5b⃗

点 R 的位置向量 = OR⃗ = 3a⃗ + 5b⃗

线段 RQ 中点的位置向量 = (OQ⃗ + OR⃗)/2

= (a⃗ - 3b⃗ + 3a⃗ + 5b⃗)/2

= (4a⃗ + 2b⃗)/2

= 2 (2a⃗ + b⃗)/2

= 2a⃗ + b⃗

= OP⃗

因此，P 是线段 RQ 的中点。

10. 平行四边形的两条相邻边是 2î - 4ĵ + 5k̂ 和 î - 2ĵ - 3k̂。求平行于其对角线的单位向量。另外，求其面积。

解决方案

设给定平行四边形的相邻边分别为 a⃗ = 2î - 4ĵ + 5k̂ 和 b⃗ = î - 2ĵ - 3k̂。

现在，平行四边形的对角线为

a⃗ + b⃗ = 2î - 4ĵ + 5k̂ + î - 2ĵ - 3k̂

a⃗ + b⃗ = 3î - 6ĵ + 2k̂

对角线向量的大小 = |a⃗ + b⃗| = √(3² + (-6)² + 2²)

= √(9 + 36 + 4)

= √49 = 7

平行于对角线的单位向量为

(a⃗ + b⃗) ̂ = (a⃗ + b⃗)/|a⃗ + b⃗| = (3î - 6ĵ + 2k̂)/7

= 3î/7 - 6ĵ/7 + 2k̂/7

给定平行四边形的面积 = |a⃗ × b⃗|

a⃗ × b⃗ = NCERT Solutions Class 12th Maths Chapter 10: Vector Algebra

= î (-4 (-3) - 5 (-2)) - ĵ (2 (-3) - (5) (1)) + k̂ (2 (-2) - (-4) (1))

= î (12 + 10) - ĵ (-6 - 5) + k̂ (-4 + 4)

= î (22) - ĵ (-11) + k̂ (0)

= 22î + 11ĵ

|a⃗ × b⃗| = √(22² + 11² + 0²)

= √(484 + 121)

= √605

= 11√5

因此，给定平行四边形的面积为 11√5 平方单位。

11. 证明与 OX、OY 和 OZ 轴等倾斜的向量的方向余弦为 ± (1/√3, 1/√3, 1/√3)。

解决方案

设一个向量与 OX、OY 和 OZ 轴等倾斜，倾斜角为 θ。

那么，向量的方向余弦为 cos θ、cos θ 和 cos θ。

现在，

cos² θ + cos² θ + cos² θ = 1

3 cos² θ = 1

cos² θ = 1/3

两边取平方根

cos θ = ± 1/√3

因此，向量的方向余弦为 ± 1/√3、± 1/√3 和 ± 1/√3。

12. 设 a⃗ = î + 4ĵ + 2k̂，b⃗ = 3î - 2ĵ + 7k̂ 且 c⃗ = 2î - ĵ + 4k̂。求向量 d⃗，该向量垂直于 a⃗ 和 b⃗，且 c⃗. d⃗ = 15。

解决方案

设向量 d⃗ 为 d₁î + d₂ĵ + d₃k̂。

给定向量为 a⃗ = î + 4ĵ + 2k̂，b⃗ = 3î - 2ĵ + 7k̂ 且 c⃗ = 2î - ĵ + 4k̂。

已知向量 d⃗ 垂直于 a⃗ 和 b⃗。因此，

d⃗. a⃗ = 0

(d₁î + d₂ĵ + d₃k̂). (î + 4ĵ + 2k̂) = 0

d₁ + 4d₂ + 2d₃ = 0

d₁ = -(4d₂ + 2d₃)

并且

d⃗. b⃗ = 0

(d₁î + d₂ĵ + d₃k̂). (3î - 2ĵ + 7k̂) = 0

3d₁ - 2d₂ + 7d₃ = 0

-3 (4d₂ + 2d₃) - 2d₂ + 7d₃ = 0

-12d₂ - 6d₃ - 2d₂ + 7d₃ = 0

-14d₂ + d₃ = 0

-14d₂ = -d₃

d₂ = d₃/14

还已知，

c⃗. d⃗ = 15

(2î - ĵ + 4k̂). (d₁î + d₂ĵ + d₃k̂) = 15

2d₁ - d₂ + 4d₃ = 15

-2 (4d₂ + 2d₃) - d₃/14 + 4d₃ = 15

-8d₂ - 4d₃ - d₃/14 + 4d₃ = 15

-8 (d₃/14) - d₃/14 = 15

-9d₃/14 = 15

-d₃ = 15 (14)/9

-d₃ = 70/3

d₃ = -70/3

d₂ = d₃/14 = -70/3(14) = -5/3

d₁ = 4d₂ + 2d₃ = 4 (-5/3) + 2 (-70/3)

= -20/3 - 140/3

= -160/3

因此，d⃗ = -160î/3 - 5ĵ/3 - 70k̂/3

13. 向量 î + ĵ + k̂ 与向量 2î + 4ĵ - 5k̂ 和 λî + 2ĵ + 3k̂ 的和方向上的单位向量的标量积等于 1。求 λ 的值。

解决方案

给定向量的和

2î + 4ĵ - 5k̂ + λî + 2ĵ + 3k̂ = (2 + λ) î + (4 + 2) ĵ + (-5 + 3) k̂

= (2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂

向量 2î + 4ĵ - 5k̂ 和 λî + 2ĵ + 3k̂ 的和方向上的单位向量为

[(2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂] ̂ = [(2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂]/√((2 + λ)² + 6² + (-2)²)

= [(2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂]/√(4 + λ² + 4λ + 36 + 4)

= [(2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂]/√(44 + λ² + 4λ)

已知此单位向量与向量 î + ĵ + k̂ 的标量积为 1。

因此，

(î + ĵ + k̂). [(2 + λ) î + 6ĵ - 2k̂]/√(44 + λ² + 4λ) = 1

[(2 + λ) + 6 - 2]/√(44 + λ² + 4λ) = 1

λ + 6 = √(44 + λ² + 4λ)

两边平方

(λ + 6)² = (44 + λ² + 4λ)

λ² + 36 + 12λ = 44 + λ² + 4λ

36 + 12λ = 44 + 4λ

8λ = 8

λ = 1

14. 如果向量 a⃗、b⃗、c⃗ 相互垂直且模相等，请证明向量 a⃗ + b⃗ + c⃗ 与 a⃗、b⃗、c⃗ 等倾斜。

解决方案

已知向量 a⃗、b⃗ 和 c⃗ 相互垂直。因此，

a⃗. b⃗ = 0

b⃗. c⃗ = 0

c⃗. a⃗ = 0

还已知 a⃗、b⃗ 和 c⃗ 是模相等的向量。因此，

|a⃗| = |b⃗| = |c⃗|

设向量 a⃗ + b⃗ + c⃗ 与给定向量 a⃗、b⃗ 和 c⃗ 的夹角分别为 θ₁、θ₂ 和 θ₃。

那么，方向余弦将是

cos θ₁ = (a⃗ + b⃗ + c⃗). a⃗/|a⃗ + b⃗ + c⃗||a⃗|

= (a⃗. a⃗ + a⃗. b⃗ + a⃗. c⃗)/|a⃗ + b⃗ + c⃗||a⃗|

= (|a⃗|² + 0 + 0)/|a⃗ + b⃗ + c⃗||a⃗|

= |a⃗|²/|a⃗ + b⃗ + c⃗||a⃗|

= |a⃗|/|a⃗ + b⃗ + c⃗|

cos θ₂ = (a⃗ + b⃗ + c⃗). b⃗/|a⃗ + b⃗ + c⃗||b⃗|

= (b⃗. a⃗ + b⃗. b⃗ + b⃗. c⃗)/|a⃗ + b⃗ + c⃗|b⃗|

= (0 + |b⃗|² + 0)/|a⃗ + b⃗ + c⃗||b⃗|

= |b⃗|²/|a⃗ + b⃗ + c⃗||b⃗|

= |b⃗|/|a⃗ + b⃗ + c⃗|

cos θ₃ = (a⃗ + b⃗ + c⃗). c⃗/|a⃗ + b⃗ + c⃗||c⃗|

= (c⃗. a⃗ + c⃗. b⃗ + c⃗. c⃗)/|a⃗ + b⃗ + c⃗|c⃗|

= (0 + 0 + |c⃗|²)/|a⃗ + b⃗ + c⃗||c⃗|

= |c⃗|²/|a⃗ + b⃗ + c⃗||c⃗|

= |c⃗|/|a⃗ + b⃗ + c⃗|

由于 |a⃗| = |b⃗| = |c⃗|。那么，

cos θ₁ = cos θ₂ = cos θ₃

所以，θ₁ = θ₂ = θ₃

因此，向量 a⃗ + b⃗ + c⃗ 与给定向量 a⃗、b⃗ 和 c⃗ 等倾斜。

15. 证明 (a⃗ + b⃗). (a⃗ + b⃗) = |a⃗|² + |b⃗|² 当且仅当 a⃗ 和 b⃗ 垂直，已知 a⃗ ≠ 0，b⃗ ≠ 0。

解决方案

(a⃗ + b⃗). (a⃗ + b⃗) = |a⃗|² + |b⃗|²

a⃗. b⃗ + a⃗. a⃗ + b⃗. a⃗ + b⃗. b⃗ = |a⃗|² + |b⃗|²

|a⃗|² + 2 a⃗. b⃗ + |b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|²

2 a⃗. b⃗ = 0

a⃗. b⃗ = 0

因此，a⃗ 和 b⃗ 垂直，因为 a⃗ ≠ 0，b⃗ ≠ 0。

在练习 16 到 19 中选择正确答案。

16. 如果 θ 是两个向量 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角，那么 a⃗. b⃗ ≥ 0 仅在以下情况发生

(A) 0 < θ < π/2 (B) 0 ≤ θ ≤ π/2

(C) 0 < θ < π (D) 0 ≤ θ ≤ π

解决方案

我们知道：

a⃗. b⃗ = |a⃗||b⃗| cos θ

如果 a⃗. b⃗ ≥ 0，那么 |a⃗||b⃗| cos θ ≥ 0

cos θ ≥ 0

0 ≤ θ ≤ π/2

因此，(B) 是正确答案。

17. 设 a⃗ 和 b⃗ 是两个单位向量，θ 是它们之间的夹角。那么 a⃗ + b⃗ 是一个单位向量，如果

(A) θ = π/4 (B) θ = π/3 (C) θ = π/2 (D) θ = 2π/3

解决方案

|a⃗| = |b⃗| = 1

|a⃗ + b⃗| = 1

(a⃗ + b⃗)² = 1

(a⃗ + b⃗). (a⃗ + b⃗) = 1

a⃗. a⃗ + a⃗. b⃗ + b⃗. a⃗ + b⃗. b⃗ = 1

|a⃗|² + 2a⃗. b⃗ + |b⃗|² = 1

1 + 2 (|a⃗||b⃗| cos θ) + 1 = 1

2 (1 cos θ) = -1

cos θ = -1/2

θ = 2π/3

因此，(D) 是正确答案。

18. î. (ĵ × k̂) + ĵ. (î × k̂) + k̂. (î × ĵ) 的值是

(A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 3

解决方案

î. (ĵ × k̂) + ĵ. (î × k̂) + k̂. (î × ĵ)

= î. î + ĵ. (-ĵ) + k̂. k̂

= 1 - ĵ. ĵ + 1

= 2 - 1 = 1

因此，(C) 是正确答案。

19. 如果 θ 是任意两个向量 a⃗ 和 b⃗ 之间的夹角，那么 |a⃗. b⃗| = |a⃗ × b⃗| 当 θ 等于

(A) 0 (B) π/4 (C) π/2 (D) π

解决方案

|a⃗. b⃗| = |a⃗ × b⃗|

|a⃗||b⃗| cos θ = |a⃗||b⃗| sin θ

cos θ = sin θ

tan θ = 1

θ = π/4

因此，(B) 是正确答案。

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